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数学桥:对高等数学的一次观赏之旅(斯蒂芬.弗莱彻.休森) |  |
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数学桥:对高等数学的一次观赏之旅(斯蒂芬.弗莱彻.休森) | |
《数学桥:对高等数学的一次观赏之旅》是由上海科技教育出版社出版的。
作者：（美国）斯蒂芬·弗莱彻·休森 译者：邹建成 杨志辉 刘喜波 等 注释 解说词：朱惠霖
序言
1.数
1.1 计数
1.1.1 自然数
1.1.1.1 自然数的构造
1.1.1.2 算术
1.1.2 整数
1.1.2.1 零和负整数的性质
1.1.3 有理数
1.1.4 序
1.1.4.1 使N，Z和Q有序
1.1.5 从一到无穷大
1.1.5.1 无穷集的比较
1.1.6 无穷算术
1.1.7 超越
1.2 实数
1.2.1 怎样产生无理数
1.2.1.1 实数的代数描述
1.2.2 有多少个实数
1.2.3 代数数和超越数
1.2.3.1 超越数的例子
1.2.4 连续统假设和更大的无穷大
1.3 复数及其高维同伴
1.3.1 复数i的发现
1.3.2 复平面
1.3.2.1 复数在几何中的应用
1.3.3 棣莫弗定理
1.3.4 多项式和代数基本定理
1.3.4.1 多项式方程的求解
1.3.5 还有其他的数吗
1.3.5.1 四元数
1.3.5.2 凯莱数
1.4 素数
1.4.1 计算机、算法和数学
1.4.2 素数的性质
1.4.3 素数有多少个
1.4.3.1 素数的分布
1.4.4 欧几里得算法
1.4.4.1 欧几里得算法的速度
1.4.4.2 连分数
1.4.5 贝祖引理和算术基本定理
1.5 模整数
1.5.1 模为素数的算术
1.5.1.1 一个关于素数、的公式
1.5.1.2 费马小定理
1.5.2 RSA密码
1.5.2.1 建立RSA体制
1.5.2.2 一种RSA密码体制
2.分析
2.1 无穷极限
2.1.1 三个例子
2.1.1.1 阿基里斯和乌龟
2.1.1.2 连续复合利率
2.1.1.3 方程的迭代解法
2.1.2 极限的数学描述
2.1.2.1 收敛的一般准则
2.1.3 极限应用于无穷和
2.1.3.1 一个例子：几何级数
2.2 无穷和的收敛与发散
2.2.1 调和级数
2.2.2 收敛判别法
2.2.2.1 比较判别法
2.2.2.2 交错级数判别法
2.2.2.3 绝对收敛
2.2.2.4 比率判别法
2.2.3 幂级数及其收敛半径
2.2.3.1 确定收敛半径
2.2.4 无穷级数的重新排列
2.3 实函数
2.3.1 实值函数的极限
2.3.2 连续函数
2.3.3 微分
2.3.3.1 例子
2.3.3.2 微分中值定理
2.3.3.3 洛必达法则
2.3.4 面积与积分
2.3.5 微积分基本定理
2.4 对数函数和指数函数以及e
2.4.1 Inx的定义
2.4.2 expx的定义
2.4.3 欧拉数e
2.4.3.1 e的无理性
2.5 幂级数
2.5.1 泰勒级数
2.5.1.1 作为警示的例子
2.5.1.2 实函数的复扩张
2.6 与分析学观点下的三角学
2.6.1 角度与扇形面积
2.6.1 的一个级数展开式
2.6.2 正切、正弦和余弦
2.6.2.1 用幂级数定义sinx和cosx
2.6.3 傅里叶级数
2.7 复函数
2.7.1 指数函数和三角函数
2.7.2 复函数的几个基本性质
……
3.代数
4.微积分与微分方程
5.概率
6.理论物理
附录A 给读者的练习
大学数学难学是一个众所周知的事实，但它到底有多难，直到我开始学习大学数学时，我才明白，对于要把注意重点从高中数学中以重复性操练为基础的常规解题训练转移到作为真正数学的智力体操上来，我毫无准备，庆幸的是，在我的奋力拼搏下，我通过了最初几个月的学习，而且逐渐地开始理解正式讲课中无处不在的大量符号的含义，我发现，数学是一门既令人惊叹又让人愉悦的生机勃勃的学科，尽管它远在一条由形式化、简洁性和逻辑性构成的水流湍急、险象环生的大河的那一侧。
几年以后，我在从事研究和讲授数学的过程中，发现一代又一代的数学家苗子仍在与我当初面临的同样问题作战，很自然，一些学生很突出，很快成了技巧娴熟的数学家，一些学生没能完成向更高层次数学的过渡，于是放弃，不再继续学习数学，其他一些学生很成功，这种“成功”在于能将符号搬来弄去，并在考试中取得高分，但是他们不具备任何有意义的数学悟性，第四类由有可能成为既技巧娴熟又聪颖过人的数学家的学生组成，但他们仍然觉得向更高层次数学的过渡很困难，这四类学生的共同之处是，他们都是有才能的学生，但他们在中学阶段没有接触更高层次的数学就进了大学，有那么多的学生最终归于后两类，这让我一直感到吃惊。
进一步的调查发现，看来几乎没有一种图书资料能以一种清晰的、直观的，特别是以一种有趣的方式来提供这种过渡性材料，一方面，我们有着标准的教材，当然，这些教材是必需的，但从整体上讲它们也是内容非常密集、阅读非常困难、编排非常紧凑的东西，除了适用于专门的学习和参考外，其他什么都不适用，另一方面，还有许多精彩的“普及性”数学图书。
