ACM 进阶学习第一课----同余相关之中国剩余定理问题引入物不知数问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五
ACM 进阶学习第一课----同余相关之中国剩余定理
问题引入"物不知数"问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何?答曰:'二十三.'术曰:三三数之剩二,置一百四十,五五数之剩三,置六十三,七七数之剩二,置三十,并之,得二百三十三,以二百一十减之,即得.凡三三数之剩一,则置七十,五五数之剩一,则置二十一,七七数之剩一,则置十五,即得." --孙子算经当代解释
令任意固定整数为M，当M/A余a，M/B余b，M/C余c，M/D余d，…，M/Z余z时，这里的A，B，C，D，…，Z为除数，除数为任意自然数（如果为0，没有任何意义，如果为1，在孙子定理中没有计算和探讨的价值，所以，不包括0和1）时；余数a，b，c，d，z为自然整数时。
1、当命题正确时，在这些除数的最小公倍数内有解，有唯一的解，每一个最小公倍数内都有唯一的解；当命题错误时，在整个自然数范围内都无解。
2、当M在两个或两个以上的除数的最小公倍数内时，这两个或两个以上的除数和余数可以定位M在最小公倍数内的具体位置，也就是M的大小。
3、正确的命题，指没有矛盾的命题：分别除以A，B，C，D，…，Z不同的余数组合个数=A，B，C，D，…，Z的最小公倍数=不同的余数组合的循环周期．
问题分析一、"物不知数"问题的抽象表示:
x≡2(mod 3)
x≡3(mod 5)
x≡2(mod 7)求满足上述条件的最小正整数x
二、"物不知数"解法的数学表示:
任取被3除余2的5和7的倍数:140
任取被5除余3的7和3的倍数:63
任取被7除余2的3和5的倍数:30
140+63+30=233
减去3,5,7的公倍数中不超过233的最大的数210得到答案
23三、问题归化一般性问题:
给定两两互质的正整数n1,n2,...,nk,要求找到最小的正整数a,满足a≡ai(mod ni)将问题分解成若干次求解二元模线性方程组的解
算法步骤令n=n1n2···nk，mi=n/ni
利用扩展欧几里德算法计算出xi满足mixi ≡ 1(mod ni),由于n1,n2,...,nk两两互质,必有gcd(mi,ni)=1,即可保证一定有解
则a≡a1x1m1 + a2x2m2 + ... + akxkmk (mod n)
典型应用大整数的表示
选取两两互素的正整数n1,n2,...,nk
已知对每个ni取模的值ri,就可以唯一确定一个1~n1n2...nk的大整数
做大整数加,减,乘法时,只要保证在这个范围内,均可转化为分别对相应的余数进行计算
模板代码
【未完待续】。。。。
