0022算法笔记——背包问题,最优装载问题
1、背包问题
(1)0-1背包问题：给定n种物品和一个背包。物品i的重量是Wi，其价值为Vi，背包的容量为C。应如何选择装入背包的物品，使得装入背包中物品的总价值最大?
注：在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有2种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。
0-1背包问题可用动态规划算法来求解，具体过程可参看笔者博文《0019算法笔记——0-1背包问题动态规划求解》。
(2)背包问题：与0-1背包问题类似，所不同的是在选择物品i装入背包时，可以选择物品i的一部分，而不一定要全部装入背包，1≤i≤n。
这2类问题都具有最优子结构性质，极为相似，但背包问题可以用贪心算法求解，而0-1背包问题却不能用贪心算法求解。用贪心算法解背包问题的基本步骤是，首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi，然后，依贪心选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。若将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总重量未超过C，则选择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。依此策略一直地进行下去，直到背包装满为止。
具体代码如下：
//4d2 贪心算法 背包问题#include "stdafx.h"#include <iostream> using namespace std; const int N = 3;void Knapsack(int n,float M,float v[],float w[],float x[]);int main(){float M = 50;//背包所能容纳的重量//这里给定的物品按单位价值减序排序float w[] = {0,10,20,30};//下标从1开始float v[] = {0,60,100,120};float x[N+1];cout<<"背包所能容纳的重量为："<<M<<endl;cout<<"待装物品的重量和价值分别为："<<endl;for(int i=1; i<=N; i++){cout<<"["<<i<<"]:("<<w[i]<<","<<v[i]<<")"<<endl;}Knapsack(N,M,v,w,x);cout<<"选择装下的物品比例如下："<<endl;for(int i=1; i<=N; i++){cout<<"["<<i<<"]:"<<x[i]<<endl;}return 0;}void Knapsack(int n,float M,float v[],float w[],float x[]){//Sort(n,v,w);//这里假定w[],v[]已按要求排好序int i;for (i=1;i<=n;i++){x[i]=0;//初始化数组x[]}float c=M;for (i=1;i<=n;i++)//物品整件被装下,x[i]=1{if (w[i]>c){break;}x[i]=1;c-=w[i];}//物品i只有部分被装下if (i<=n){x[i]=c/w[i];}}程序运行结果为：
算法knapsack的主要计算时间在于将各种物品依其单位重量的价值从大到小排序。因此，算法的计算时间上界为O(nlogn)。为了证明算法的正确性，还必须证明背包问题具有贪心选择性质。这种贪心选择策略对0-1 背包问题就不适用了。看下图例子，其中有3中物品，背包的容量为50千克。物品1重10千克；价值60元；物品2重20千克；价值100元；物品3重30千克，价值120元。因此，物品1每千克价值6元，物品2每千克价值5元，物品3每千克价值4元。若依贪心选择策略，应首先选择物品1装入背包，然而从图b中各种情况可以看出，最优的选择方案是选择物品2和物品3装入背包。首选物品1的两种方案都不是最优的。对于背包问题，贪心选择最终可得到最优解，其选择方案如图c所示。
对于0-1背包问题，贪心选择之所以不能得到最优解是因为在这种情况下，它无法保证最终能将背包装满，部分闲置的背包空间使每公斤背包空间的价值降低了。事实上，在考虑0-1背包问题时，应比较选择该物品和不选择该物品所导致的最终方案，然后再作出最好选择。由此就导出许多互相重叠的子问题。这正是该问题可用动态规划算法求解的另一重要特征。
2、最优装载问题
问题描述：有一批集装箱要装上一艘载重量为c的轮船。其中集装箱i的重量为Wi。最优装载问题要求确定在装载体积不受限制的情况下，将尽可能多的集装箱装上轮船。
最优子结构性质：设(x1,x2,……xn)是最优装载问题的满足贪心选择性质的最优解，则易知，x1=1,(x2,x3,……xn)是轮船载重量为c-w1，待装船集装箱为{2,3，……n}时相应最优装载问题的最优解。因此，最优装载问题具有最优子结构性质。
求解过程：最优装载问题可用贪心算法求解。采用重量最轻者先装的贪心选择策略，可产生最优装载问题的最优解。具体代码如下：
//4d3 贪心算法 最优装载问题#include "stdafx.h"#include <iostream> using namespace std; const int N = 4;template <class Type> void Swap(Type &x,Type &y); template<class Type>void Loading(int x[], Type w[], Type c, int n);template<class Type>void SelectSort(Type w[],int *t,int n);int main(){float c = 70;float w[] = {0,20,10,26,15};//下标从1开始int x[N+1];cout<<"轮船载重为："<<c<<endl;cout<<"待装物品的重量分别为："<<endl;for(int i=1; i<=N; i++){cout<<w[i]<<" ";}cout<<endl;Loading(x,w,c,N);cout<<"贪心选择结果为:"<<endl;for(int i=1; i<=N; i++){cout<<x[i]<<" ";}cout<<endl;return 0;}template<class Type>void Loading(int x[],Type w[], Type c, int n){int *t = new int [n+1];//存储排完序后w[]的原始索引SelectSort(w, t, n);for(int i=1; i<=n; i++){x[i] = 0;//初始化数组x[]}for(int i=1; i<=n && w[t[i]]<=c; i++){x[t[i]] = 1;c -= w[t[i]];}}template<class Type>void SelectSort(Type w[],int *t,int n){Type tempArray[N+1],temp;memcpy(tempArray,w,(n+1)*sizeof(Type));//将w拷贝到临时数组tempArray中int min;for(int i=1;i<=n;i++){t[i] = i;}for(int i=1;i<n;i++){min=i;for(int j=i+1;j<=n;j++){if(tempArray[min]>tempArray[j]){min=j;}}Swap(tempArray[i],tempArray[min]);Swap(t[i],t[min]);}}template <class Type> void Swap(Type &x,Type &y){Type temp = x; x = y; y = temp; }算法loading的主要计算量在于将集装箱依其重量从小到大排序，故算法所需的计算时间为 O(nlogn)。运行结果如下：
