袖珍电子书：什么是无限接近？
现在看起来，引入无穷小，扩展实数系是顺理成章之事。那么，什么叫“无限地接近”？在超实数系里面，有什么新说法？
在《基础微积分》电子版教材第一章第六节第35页，J.Keisler引入以下定义：
DEFINITION
Two hyperreal numbers b and c are said to be infinitely close to each other（相互无限地接近）in symbols b ≈c,if their difference b - c is infinitesimal, b┒≈c means that b is not infinitely close to c.
从定义可知，如果两个超实数相差是无穷小，则称两者”无限地接近”，此定义非常符合人们的直觉观念。以下事实是明显的：如果ε是无穷小，则有公式：b≈b+ε；如果b是无穷小，则其充要条件是，b≈0，也就是说，b是无穷小，可以用b≈0来表示；如果b与c都是实数，而且b≈c，则必有b=c。由此看来，无限地接近“≈”与等号“=”相近，但是，又有不同之处。这三件事情要牢记在心。
在《基础微积分》电子版教材第一章第六节第36页，J.Keisler给出以下定义：
DEFINITION
Let b be a hyperreal numben.The standard part of b,denoted by st(b),is the real number which is infinitely close to b.Infinite hyperreal numbers do not have standard part.
这个定义十分关键，必须彻底弄明白。意思是说，每一个有限超实数都有一个所谓的“标准部分”无限地接近该超实数，记为st(b)。
假定a与b是超实数，则以下等式成立：
（1）st(-a)=-st(a)
(2) st(a+b)=st(a)+st(b)
（3）st(a-b)=st(a)-st(b)
（4）st(a x b)=st(a) x st(b)
(5) 如果st(b)不等于零，则有st(a/b)=st(a)/st(b)
(6) 如果a≤b，则有st(a)≤st(b)
如果b是实数，则st(b)=b；而且，一般而言，当b是超实数时，b=st(b)+ε，此处，ε为某个无穷小。
说明：我们在此提出一个很有趣味的问题：如果这种“无限地接近”的观念能够被中学生所接受，那么，他们一定能够理解与掌握“st”的运算法则。如此以来，求导数（包括微分），求定积分都不成为问题了。微积分的初步知识，岂不是完全可以“下放”到中学去讲授？我们把话说穿了，微积分学（本质上)不就是这点儿“事情”吗？
