后缀数组实现的倍增算法和DC3算法
/************************************************数据结构：后缀数组(Suffix_Array);子串:字符串S的子串r[i..j]，i≤j，表示r串中从i到j这一段，也就是顺次排列r[i],r[i+1],...,r[j]形成的字符串;后缀：后缀是指从某个位置i开始到整个串末尾结束的一个特殊子串;字符串r的从第i个字符开始的后缀表示为Suffix(i),也就是Suffix(i)=r[i...len(r)];后缀数组SA:后缀数组保存的是一个字符串的所有后缀的排序结果;其中SA[i]保存的是字符串所有的后缀中第i小的后缀的开头位置;名次数组Rank：名次数组Rank[i]保存的是后缀i在所有后缀中从小到大排列的“名次”;后缀数组是"排第几的是谁",名次数组是"排第几",即后缀数组和名次数组为互逆运算;(1)倍增算法:用倍增的方法对每个字符开始的长度为2^k的子字符串进行排序，求出排名，即rank值。k从0开始，每次加1，当2^k大于n以后，每个字符开始的长度为2^k的子字符串便相当于所有的后缀。并且这些子字符串都一定已经比较出大小，即rank值中没有相同的值，那么此时的rank值就是最后的结果。每一次排序都利用上次长度为2^k-1的字符串的rank值，那么长度为2^k的字符串就可以用两个长度为2^k-1的字符串的排名作为关键字表示，然后进行基数排序，便得出了长度为2^k的字符串的rank值。(2)DC3算法：①先将后缀分成两部分，然后对第一部分的后缀排序;②利用①的结果，对第二部分的后缀排序;③将①和②的结果合并，即完成对所有后缀排序;时间复杂度：倍增算法的时间复杂度为O(nlogn),DC3算法的时间复杂度为O(n);从常数上看，DC3算法的常数要比倍增算法大;空间复杂度：倍增算法和DC3算法的空间复杂度都是O(n);倍增算法所需数组总大小为6n,DC3算法所需数组总大小为10n;RMQ(Range Minimum/Maximum Query)问题：对于长度为n的数列A，回答若干询问RMQ(A,i,j)(i,j<=n)，返回数列A中下标在i,j里的最小(大）值，也就是说，RMQ问题是指求区间最值的问题。LCA(Least Common Ancestors)最近公共祖先问题：对于有根树T的两个结点u、v，最近公共祖先LCA(T,u,v）表示一个结点x，满足x是u、v的祖先且x的深度尽可能大。另一种理解方式是把T理解为一个无向无环图，而LCA(T,u,v）即u到v的最短路上深度最小的点。RMQ标准算法：先规约成LCA(Lowest Common Ancestor),再规约成约束RMQ，O(n)-O(q);首先根据原数列，建立笛卡尔树，从而将问题在线性时间内规约为LCA问题;LCA问题可以在线性时间内规约为约束RMQ，也就是数列中任意两个相邻的数的差都是+1或-1的RMQ问题;约束RMQ有O(n)-O(1)的在线解法，故整个算法的时间复杂度为O(n)-O(1);height数组：定义height[i]=suffix(sa[i-1])和suffix(sa[i])的最长公共前缀，也就是排名相邻的两个后缀的最长公共前缀;那么对于j和k，不妨设rank[j]<rank[k],则有以下性质：suffix(j)和suffix(k)的最长公共前缀为:height[rank[j]+1],height[rank[j]+2],height[rank[j]+3],…,height[rank[k]]中的最小值;*************************************************/#include<iostream>#include<cstring>#include<cstdlib>#include<cstdio>#include<climits>#include<algorithm>using namespace std;const int N=100010;/**************倍增算法**************************int wa[N],wb[N],wv[N],__ws[N];int cmp(int *r,int a,int b,int l){ return r[a]==r[b]&&r[a+l]==r[b+l];}void da(int *r,int *sa,int n,int m){ int *x=wa,*y=wb,*t; for(int i=0; i<m; i++) __ws[i]=0; for(int i=0; i<n; i++) __ws[x[i]=r[i]]++; for(int i=1; i<m; i++) __ws[i]+=__ws[i-1]; for(int i=n-1; i>=0; i--) sa[--__ws[x[i]]]=i; for(int j=1,p=1; p<n; j*=2,m=p) { p=0; for(int i=n-j; i<n; i++) y[p++]=i; for(int i=0; i<n; i++) { if(sa[i]>=j) y[p++]=sa[i]-j; } for(int i=0; i<n; i++) wv[i]=x[y[i]]; for(int i=0; i<m; i++) __ws[i]=0; for(int i=0; i<n; i++) __ws[wv[i]]++; for(int i=1; i<m; i++) __ws[i]+=__ws[i-1]; for(int i=n-1; i>=0; i--) sa[--__ws[wv[i]]]=y[i]; t=x,x=y,y=t,p=1,x[sa[0]]=0; for(int i=1; i<n; i++) { x[sa[i]]=cmp(y,sa[i-1],sa[i],j)?p-1:p++; } } return;}**************倍增算法**************************//***************DC3算法**************************/#define F(x) ((x)/3+((x)%3==1?0:tb))#define G(x) ((x)<tb?(x)*3+1:((x)-tb)*3+2)int wa[N],wb[N],wv[N],_ws[N];int c0(int *r,int a,int b){ return r[a]==r[b]&&r[a+1]==r[b+1]&&r[a+2]==r[b+2];}int c12(int k,int *r,int a,int b){ if(k==2) return r[a]<r[b]||r[a]==r[b]&&c12(1,r,a+1,b+1); else return r[a]<r[b]||r[a]==r[b]&&wv[a+1]<wv[b+1];}void sort(int *r,int *a,int *b,int n,int m){ for(int i=0; i<n; i++) wv[i]=r[a[i]]; for(int i=0; i<m; i++) _ws[i]=0; for(int i=0; i<n; i++) _ws[wv[i]]++; for(int i=1; i<m; i++) _ws[i]+=_ws[i-1]; for(int i=n-1; i>=0; i--) b[--_ws[wv[i]]]=a[i]; return;}void dc3(int *r,int *sa,int n,int m){ int *rn=r+n,*san=sa+n,ta=0,tb=(n+1)/3,tbc=0,p; r[n]=r[n+1]=0; for(int i=0; i<n; i++) { if(i%3!=0) wa[tbc++]=i; } sort(r+2,wa,wb,tbc,m); sort(r+1,wb,wa,tbc,m); sort(r,wa,wb,tbc,m); p=1,rn[F(wb[0])]=0; for(int i=1; i<tbc; i++) { rn[F(wb[i])]=c0(r,wb[i-1],wb[i])?p-1:p++; } if(p<tbc) dc3(rn,san,tbc,p); else for(int i=0; i<tbc; i++) san[rn[i]]=i; for(int i=0; i<tbc; i++) { if(san[i]<tb) wb[ta++]=san[i]*3; } if(n%3==1) wb[ta++]=n-1; sort(r,wb,wa,ta,m); for(int i=0; i<tbc; i++) wv[wb[i]=G(san[i])]=i; int i,j; for(i=0,j=0,p=0; i<ta && j<tbc; p++) { sa[p]=c12(wb[j]%3,r,wa[i],wb[j])?wa[i++]:wb[j++]; } for(; i<ta; p++) sa[p]=wa[i++]; for(; j<tbc; p++) sa[p]=wb[j++]; return;}/***************DC3算法**************************/int rank[N],height[N];void calheight(int *r,int *sa,int n){ int i,j,k=0; for(int i=1; i<=n; i++) rank[sa[i]]=i; for(int i=0; i<n; height[rank[i++]]=k) { for(k?k--:0,j=sa[rank[i]-1]; r[i+k]==r[j+k]; k++); } return;}int RMQ[N];int mm[N];int best[20][N];void initRMQ(int n){ int i,j,a,b; for(mm[0]=-1,i=1; i<=n; i++) mm[i]=((i&(i-1))==0)?mm[i-1]+1:mm[i-1]; for(i=1; i<=n; i++) best[0][i]=i; for(i=1; i<=mm[n]; i++) for(j=1; j<=n+1-(1<<i); j++) { a=best[i-1][j]; b=best[i-1][j+(1<<(i-1))]; if(RMQ[a]<RMQ[b]) best[i][j]=a; else best[i][j]=b; } return;}int askRMQ(int a,int b){ int t; t=mm[b-a+1]; b-=(1<<t)-1; a=best[t][a]; b=best[t][b]; return RMQ[a]<RMQ[b]?a:b;}int lcp(int a,int b){ int t; a=rank[a]; b=rank[b]; if(a>b) { t=a; a=b; b=t; } return(height[askRMQ(a+1,b)]);}