详细讲解最短路径Dijkstra算法及实现
1 最短路径问题（The shortest-path problem, SPP）
最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图中两结点之间的最短路径。 算法具体的形式包括：
1) 确定起点的最短路径问题 - 即已知起始结点，求最短路径的问题。
2) 确定终点的最短路径问题 - 与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。
3）确定起点终点的最短路径问题 - 即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。
4）全局最短路径问题 - 求图中所有的最短路径。
2 Dijkstra(迪杰斯特拉)算法2.1 定义Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离，该算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。
2.2 算法描述这个算法是通过为每个顶点 v 保留目前为止所找到的从s到v的最短路径来工作的。初始时，原点 s 的路径长度值被赋为 0 （d[s] = 0），若存在能直接到达的边（s,m），则把d[m]设为w（s,m）,同时把所有其他（s不能直接到达的）顶点的路径长度设为无穷大，即表示我们不知道任何通向这些顶点的路径（对于 V 中所有顶点 v 除 s 和上述 m 外 d[v] = ∞）。当算法退出时，d[v] 中存储的便是从 s 到 v 的最短路径，或者如果路径不存在的话是无穷大。 Dijkstra 算法的基础操作是边的拓展：如果存在一条从 u 到 v 的边，那么从 s 到 v 的最短路径可以通过将边（u, v）添加到尾部来拓展一条从 s 到 u 的路径。这条路径的长度是 d[u] + w(u, v)。如果这个值比目前已知的 d[v] 的值要小，我们可以用新值来替代当前 d[v] 中的值。拓展边的操作一直运行到所有的 d[v] 都代表从 s 到 v 最短路径的花费。这个算法经过组织因而当d[u] 达到它最终的值的时候每条边（u, v）都只被拓展一次。
算法维护两个顶点集 S 和 Q。集合 S 保留了我们已知的所有 d[v] 的值已经是最短路径的值顶点，而集合 Q 则保留其他所有顶点。集合S初始状态为空，而后每一步都有一个顶点从 Q 移动到 S。这个被选择的顶点是 Q 中拥有最小的 d[u] 值的顶点。当一个顶点 u 从 Q 中转移到了 S 中，算法对每条外接边 (u, v) 进行拓展。
2.2 算法过程图解以下图为例，具体说明算法的执行过程。
我们将图中的节点分为3类：
1）当前访问的点Current vertex
2) 与当前访问节点相通，但是未访问过的点Fringe vertex
3) 已经访问过的点Visited vertex
为便于图中识别，用下述颜色区分这3种节点：
同时，为了保存当前得到的从开始节点到各个节点的最短路径，我们需要用一个小本本来记录这些值，如下图中的表格（第一行表示各个节点，其下的值代表当前从开始节点到目标节点的最短路径，值后边括号如110（via B）表示到达该节点前要通过的前一个节点是B）。
step 1初始化
从节点A开始，A的Fringe vertex 是B和D（图中inf代表infinite，表示从当前节点到目标节点的路径值还未知，我们设为无穷大）
step 2
get mini in note
从note中获取到达未访问节点的最短路径为当前节点，所以当前节点为B
update distance in note
更新note中从开始点到各个节点的路径，使从开始节点到各个节点的路径最短。具体步骤如下：
1)计算从开始节点到Fringe Vertex的路径（startToFringe），计算公式如下startToFringe=startToCurrent+ currentToFringe
其中startToCurrent为开始节点到当前节点的路径（该值从note中获得），currentToFringe为当前节点到Frignge节点的路径（该值从原始图中获得）。
当前节点为B，Fringe vertex 为C和D,以Fringe C为例
startToC=startToB+ currentToC=50+60=110
2) 获取Fringe vertex 在note中的路径（ fringeInNoteDist）
以Fringe C为例，CInNoteDist=inf
3）比较startToFringe和 fringeInNoteDist，如果startToFringe< fringeInNoteDis,则更新note中的Fringe vertex的值为startToFringe，并修改其前一个经由的节点为当前点。因为startToC<CInNoteDist,所以note中到达C的值为110（B）
同样，对Fringe D，做同样的计算：
startToD=startToB+currentToD=50+90=140
DInNoteDist=80
startToD>DInNoteDist，所以D在note中的值不变
step 3
get mini in note
从note中获取到达未访问节点的最短路径为当前节点，所以当前节点为D
update distance in note
更新note中从开始点到各个点的路径，使从开始点到各个点的路径最短。具体步骤如下：
1)计算从开始点到Fringe Vertex的路径（startToFringe），计算公式如下
startToFringe=startToCurrent+ currentToFringe
其中startToCurrent为开始点到当前点的路径，currentToFringe为当前点到Frignge点的路径。
当前点为D，Fringe vertex 为C和E,以Fringe C为例
startToC=startToD+ currentToC=80+20=100
2) 获取Fringe vertex 在note中的路径（ fringeInNoteDist）
以Fringe C为例，CInNoteDist=110
3）比较startToFringe和 fringeInNoteDist，如果startToFringe< fringeInNoteDis,则更新note中的Fringe vertex的值为startToFringe，并修改其前一个经由的节点为当前点。
因为startToC<CInNoteDist,所以note中到达C的值为100（D）
同样，对Fringe E，做同样的计算：
startToE=startToD+currentToE=80+70=150
DInNoteDist=inf
startToD<DInNoteDist，所以note中到达E的值为150（D）
step4
get mini in note
从note中获取到达未访问节点的最短路径为当前节点，所以当前节点为C
update distance in note
更新note中从开始点到各个点的路径，使从开始点到各个点的路径最短。具体步骤如下：
1)计算从开始点到Fringe Vertex的路径（startToFringe），计算公式如下
startToFringe=startToCurrent+ currentToFringe
其中startToCurrent为开始点到当前点的路径，currentToFringe为当前点到Frignge点的路径。
当前点为C，Fringe vertex 为E,以Fringe E为例
startToE=startToC+ currentToE=100+40=140
2) 获取Fringe vertex 在note中的路径（ fringeInNoteDist）
以Fringe E为例，EInNoteDist=150
3）比较startToFringe和 fringeInNoteDist，如果startToFringe< fringeInNoteDis,则更新note中的Fringe vertex的值为startToFringe，并修改其前一个经由的节点为当前点。
因为startToE<EInNoteDist,所以note中到达E的值为140（C）
step5
从note中获取到达未访问节点的最短路径为当前节点，所以当前节点为E,但是图中没有未访问过的点，及其他点都已经访问过，如下图
因此，E为最后一个点，因此将E标识为已访问过的点，至此算法结束
最后，note中得到的值是从开始点到各个点的最短路径。
2.3 算法实现2.3.1 算法主框架设计我们看到上述算法过程，主要是以下3个步骤：
1）initial初始化
选择开始节点，初始化小本本note中的值。
2）get mini in note 获取下一个当前节点
从note中获取到达未访问节点的最短路径的节点为当前节点，有点拗口，这样说吧，即获取当前note中未访问节点中有最小值的那个。
3）update distance in note
更新note中未访问节点的值，使这个值最小（要记住，这个值代表从开始节点到该节点的当前最短路径。）
具体步骤如下：
1)计算从开始节点到Fringe Vertex的路径（startToFringe），计算公式如下
startToFringe=startToCurrent+ currentToFringe
其中startToCurrent为开始节点到当前节点的路径（该值从note中获得），currentToFringe为当前节点到Frignge节点的路径（该值从原始图中获得）。
2) 获取Fringe vertex 在note中的路径（ fringeInNoteDist）
3）比较startToFringe和 fringeInNoteDist，如果startToFringe< fringeInNoteDis,则更新note中的Fringe vertex的值为startToFringe，并修改其前一个经由的节点为当前点。
因为startToC<CInNoteDist,所以note中到达C的值为110（B）
算法什么时候结束呢？重复上述步骤2和3直到所有的节点都访问过结束。
要实现该算法，结合上述算法过程，需要解决如下问题：
1）上图中的3类节点在代码中如何表示
Fringe vertex可以从图的邻接矩阵或邻接链表中获得， Current vertex 从小本本note中获得， un-visited vertex可以在节点中加入属性（如isInTree）来标识。
2）小本本note如何表示？
小本本可以用数组或优先队列来实现，小本本中的值可以用以下对象进行抽象:
// path.java// demonstrates shortest path with weighted, directed graphs// to run this program: C>java PathApp////////////////////////////////////////////////////////////////class DistPar // distance and parent { // items stored in sPath array public int distance; // distance from start to this vertex public int parentVert; // current parent of this vertex// ------------------------- public DistPar(int pv, int d) // constructor { distance = d; parentVert = pv; }// ------------------------- } // end class DistPar///////////////////////////////////////////////////////////////class Vertex { public char label; // label (e.g. 'A') public boolean isInTree;// ------------------------- public Vertex(char lab) // constructor { label = lab; isInTree = false; }// ------------------------- } // end class Vertex////////////////////////////////////////////////////////////////class Graph { private final int MAX_VERTS = 20; private final int INFINITY = 1000000; private Vertex vertexList[]; // list of vertices private int adjMat[][]; // adjacency matrix private int nVerts; // current number of vertices private int nTree; // number of verts in tree private DistPar sPath[]; // array for shortest-path data private int currentVert; // current vertex private int startToCurrent; // distance to currentVert// ------------------------- public Graph() // constructor { vertexList = new Vertex[MAX_VERTS]; // adjacency matrix adjMat = new int[MAX_VERTS][MAX_VERTS]; nVerts = 0; nTree = 0; for(int j=0; j<MAX_VERTS; j++) // set adjacency for(int k=0; k<MAX_VERTS; k++) // matrix adjMat[j][k] = INFINITY; // to infinity sPath = new DistPar[MAX_VERTS]; // shortest paths } // end constructor// ------------------------- public void addVertex(char lab) { vertexList[nVerts++] = new Vertex(lab); }// ------------------------- public void addEdge(int start, int end, int weight) { adjMat[start][end] = weight; // (directed) }// ------------------------- // find all shortest paths public void path(){ //step1 initial int startTree = 0; // start at vertex 0 vertexList[startTree].isInTree = true; //isInTree records whether the vertex's visited nTree = 1; //record how many vertices has been visited // transfer row of distances from adjMat to sPath for(int j=0; j<nVerts; j++){ int tempDist = adjMat[startTree][j]; sPath[j] = new DistPar(startTree, tempDist); //sPath is the note, here represent as an array } while(nTree < nVerts) { //base case: until all vertices are in the tree //step2 get minimum from sPath int indexMin = getMin(); int minDist = sPath[indexMin].distance; //special case: if all infinite or in tree,sPath is complete if(minDist == INFINITY) { System.out.println("There are unreachable vertices"); break; } else{ // reset currentVert currentVert = indexMin; // to closest vert// minimum distance from startTree is to currentVert, and is startToCurrent startToCurrent = sPath[indexMin].distance; } // put current vertex in tree vertexList[currentVert].isInTree = true; nTree++; //step3 update path updatePath(); // update sPath[] array } // end while(nTree<nVerts)//step4 printout all shortest path displayPaths(); // display sPath[] contents nTree = 0; // clear tree for(int j=0; j<nVerts; j++) vertexList[j].isInTree = false; } // end path()// ------------------------- public int getMin() // get entry from sPath { // with minimum distance int minDist = INFINITY; // assume minimum int indexMin = 0; for(int j=1; j<nVerts; j++) // for each vertex, { // if it's in tree and if( !vertexList[j].isInTree && // smaller than old one sPath[j].distance < minDist ) { minDist = sPath[j].distance; indexMin = j; // update minimum } } // end for return indexMin; // return index of minimum } // end getMin()// ------------------------- public void updatePath() { // adjust values in shortest-path array sPath int column = 1; // skip starting vertex while(column < nVerts) // go across columns { // if this column's vertex already in tree, skip it if( vertexList[column].isInTree ) { column++; continue; } // calculate distance for one sPath entry // get edge from currentVert to column int currentToFringe = adjMat[currentVert][column]; // add distance from start int startToFringe = startToCurrent + currentToFringe; // get distance of current sPath entry int sPathDist = sPath[column].distance; // compare distance from start with sPath entry if(startToFringe < sPathDist) // if shorter, { // update sPath sPath[column].parentVert = currentVert; sPath[column].distance = startToFringe; } column++; } // end while(column < nVerts) } // end adjust_sPath()// ------------------------- public void displayPaths() { for(int j=0; j<nVerts; j++) // display contents of sPath[] { System.out.print(vertexList[j].label + "="); // B= if(sPath[j].distance == INFINITY) System.out.print("inf"); // inf else System.out.print(sPath[j].distance); // 50 char parent = vertexList[ sPath[j].parentVert ].label; System.out.print("(" + parent + ") "); // (A) } System.out.println(""); }// ------------------------- } // end class Graph////////////////////////////////////////////////////////////////class PathApp { public static void main(String[] args) { Graph theGraph = new Graph(); theGraph.addVertex('A'); // 0 (start) theGraph.addVertex('B'); // 1 theGraph.addVertex('C'); // 2 theGraph.addVertex('D'); // 3 theGraph.addVertex('E'); // 4 theGraph.addEdge(0, 1, 50); // AB 50 theGraph.addEdge(0, 3, 80); // AD 80 theGraph.addEdge(1, 2, 60); // BC 60 theGraph.addEdge(1, 3, 90); // BD 90 theGraph.addEdge(2, 4, 40); // CE 40 theGraph.addEdge(3, 2, 20); // DC 20 theGraph.addEdge(3, 4, 70); // DE 70 theGraph.addEdge(4, 1, 50); // EB 50 System.out.println("Shortest paths"); theGraph.path(); // shortest paths System.out.println(); } // end main() } // end class PathApp////////////////////////////////////////////////////////////////