公理化集合论是对康托尔集合论的承继与发展

公理化集合论是对康托尔集合论的继承与发展

    集合论的公理系统有许多等价的表述方式。为简洁起见，我们采用一阶逻辑符号语言来表述，即采用1980年Kunen提出的模式：

     A1外延公理:?x?y?z(z∈x?z∈y)?x=y

     A2基础公理：?x[?a(a∈x)??y(y∈x∧┑?z(z∈y∧z∈x))]

     A3分离公理：?z?ω1?ω2 ?ωn?y?x[x∈y?(x∈z∧φ)]

     A4配对公理：?x?y?z(x∈z∧y∈z)

     A5并集公理：?F?A?Y?x[(x∈Y∧Y∈F)? x ∈A]?

      A6替代公理：

                ?A?ω1?ω2 ?ωn[?x(x∈A??!yφ)??B?x(x∈A??y(y∈B∧φ))]

     A7无穷公理：?X[?∈X∧?y(y∈X?S(y)∈X)]

    A8幂集公理：?x?y?z[z?x ? x∈y]

     A9良序定理：?X?R（Rwell-orders X) 良序定理等价与选择公理AC。

         以上就是ZFC公理系统的一阶逻辑的表述方式。初看起来，一头雾水，不知所云。但是，仔细一想，也不是什么深不可测的事情。A3分离公理，其中φ表示含有变元ω1、ω2、 、ωn的任意公式。A6替代公理，符号“?!y”存在唯一的y。A7无穷公理，其中S（y)= y?{y}，是一种缩写方式。符号“∧”是逻辑连接词“and”的意思。

        设想我们在思考微积分学问题，严格讲来，思考的每一步骤都离不开以上9条ZFC公理，只是我们自己心中不知而已。在此，我们顺便举一例如下：考虑无限命题集合：0<ε<1/1,0<ε<1/2,0<ε<1/3,......,0<ε<1/n,......

     不难看出，对于前n个命题，存在一个符号εn，满足这n个命题，这个符号εn只要取值很小即可。根据哥德尔紧致性定理，将无限命题串

                          0<ε<1/1,0<ε<1/2,0<ε<1/3,......,0<ε<1/n,......

加入ZFC公理系统，也必将有新模型存在。也就是说，存在一个符号ε满足0<ε<1/1,0<ε<1/2,0<ε<1/3,......,0<ε<1/n,......

     容易看出，这个符号ε就是所谓的”无穷小“。A.Robinson的非标准分析就是由此开始的。J.Keisler的无穷小微积分只不过是跟在A.Robinson后面小跑而已。

          总之，ZFC公理化集合论是对50年前康托尔集合论的继承与发展。没有ZFC系统也就不会有非标准分析（NSA）的出现。

          说明：紧致性定理的意思是，命题集S有模型，充分必要条件是，命题集S的任意有限子集合有模型。从紧致性定理出发，存在无穷小是很自然的事情。