log1p(x) 和 expm1(x) 函数的实现
如果我们取前两项作为近似结果，那么截断误差大约为 x^3 ，据此可以估算有效数字，当然也可以直接计算，我们知道误差最大的点肯定是x=1e-4 时。简单计算一下可知，当x=1e-4 时，用 log(1.0 + x) 计算的 有效数字有12位，用 (-0.5 * x + 1.0) * x 计算的结果的有效数字有 8 位。说明这种方法的有效数字至少可以保证有 8位。对于大多数的计算已经够用了。不过我们的目标是15位有效数字，因此还要再努努力。
上面的方法中泰勒展开只用到了前两项，如果我们多用几项肯定效果会更好。下面我们取前三项。
可以看到这个级数收敛的很快，因此我们只要取很少的几项就能得到很高的计算精度。
下面的代码来自：http://www.johndcook.com/cpp_expm1.html
double expm1(double x){ double y, a = fabs(x); if (a < DBL_EPSILON) return x; if (a > 0.697) return exp(x) - 1; /* negligible cancellation */ if (a > 1e-8) y = exp(x) - 1; else /* Taylor expansion, more accurate in this range */ y = (x / 2 + 1) * x; /* Newton step for solving log(1 + y) = x for y : */ /* WARNING: does not work for y ~ -1: bug in 1.5.0 */ y -= (1 + y) * (log1p (y) - x); return y;}不过上面的代码中也指出了，当 y 接近 -1 时，也就是 x 为负的很大的数时，上面的方法失效。
很遗憾，直到现在我还没能找到一个让我非常满意的expm1() 函数的实现方式。
