黎曼（Riemann）积分的新说法
在某种意义上来讲，教育的基本功能就是“思想灌输”，很“噎人”。所谓“噎人”就是卡在“脑壳外”面进不去，即“不入脑子”。怎么办呢？
大家知道，《高数》是必修的基础课，每年有数百万年轻学子接受灌输。比如，在“十一五”国家级规划教材《高等数学》第五章第一节（第223页）用了16行文字给出了定积分的定义（另加4行（ε，δ）说教）。定义文字之长，实属“罕见”，容易把学生“卡住”。
在超实平面上，使其变成简单多了。假定函数f在区间[a,b]上连续，将该区间无限地细分下去，使其变成许多等长的子区间(区间长为?x），让函数f分别在各子区间的左端点取值，从左到右，即从a到b，做出“无限和”如下：
∑f(x)?x
这个”和数“是个超实数，我们称其为“无限黎曼和”。由于函数f在[a,b]区间上连续，故必有界，因而上述无限和必是有限超实数，有唯一的标准部分。由此，将该标准部分定义为函数f在区间[a,b]上的定积分，请见：J.Keisler《基础微积分》第183页。
有人怀疑这种定义方式的科学性，担心“没有根据”。实际上，这不用担心，这些内容都有严格的数学证明。我觉得，定积分的这种定义方式容易“入脑子”，不会被”卡住“，而且还能激发出同学们对数学的“好奇心”。比如，小长条怎么变成了一根直线条？直线条还有“面积”吗？等等。
有人已经感悟到，由于超实数的引入，使得微积分变得简单。如此以来，就触动了某些人的神经，使他们丢了“面子”。简单就是美。
