无穷小微积分的优势究竟在哪里？？
J.Keisler在《无穷小微积分基础》教学参考书第15章”逻辑与超结构“的第1A节（第180页）给出无穷小微积分的核心特征，如下：
“Forexample, the ε, δ condition for f to be continuous at x,
?ε[ε> 0 ? ?δ(δ > 0 ∧ ?y[|x ? y| < δ ? |f (x) ?f (y)| < ε)]],
isequivalent to the simpler *L formula
?y[y≈ x ? *f(y) ≈ *f(x)] ”
意思是说，函数f在x处的连续性的上述使用传统ε,δ语言L的表达式等价于（if and only if）下面的无穷小表述语言*L公式的更为简介的表达方式，其中*f是函数f的在语言*L中的自然延伸函数。符号”≈“是在语言*L中是”无限接近于“的意思。注：符号”?“代表“for All”，符号”?“代表”There Exists“。
什么是（一阶）逻辑语言？什么是超级结构？这就是数理逻辑”模型论“研究的课题了。由此，我们可以看出，在传统微积分中，人们使用了许多无穷小微积分的”说法“（句子）而不自知也，比如：“无限接近于”，”任意地小“，等等，整天周旋于限量词（quantifier）”?、?“来回颠倒的把戏，把学生搞得概念混乱、兴趣全无。
实际上，数理逻辑模型论并不神秘，只要踏踏实实地学习并不难于把握。问题在于，人们对于使用无穷小（数）存在着”心理障碍“，不愿意接纳它。但是，国外多年数学教学的实践表明：一般而言，美国的中学生却愿意大胆地向前走，接受无穷小的数学概念。对此，难道我们的孩子们都是傻子吗？非也。
实质上，无穷小微积分的最大优势在于：理论展开的始终，减少了限量词的交替现象，使得微积分理论体系得以极大的简化，易学易用。这就是2006年J.Keisler论文”Quantifier in Limits“（“极限中的限量词”）里面的主要结论。
近十年来，高等无穷小分析的理论与应用进展很大，我们不想过多牵扯其中，以免转移学生的注意力。我们只做一件事情：普及无穷小微积分的基础知识，努力改进与完善普通高校的微积分教学的效果，把握住这个大方向丝毫不动摇。每年有上百万的学子在苦读微积分（高等数学），这个事实要牢记在我们的心中。
说明：请参见《高等数学》第61页关于函数连续性的定义：函数f(x)在点x连续等价于：?ε>0，?δ>0，当|x?y|<δ时，有|f(x)?f(y)|<ε，
将此表达式与J.Keisler的上述表达式：
?ε[ε> 0 ? ?δ(δ > 0 ∧ ?y[|x ? y| < δ ? |f (x) ?f (y)| < ε)]],
相互对照，就可以看出，《高等数学》教材里面的限量词?、?、?的作用域表达得不够清楚，容易引起同学们的误解，产生思维疲劳。一本全国通用国家级规划教材存在如此（多处的）疏漏是很不应该的。
注意，J.Keisler表达式里面有两层相互对应的方括号”[“，我们要注意它们前后”括“在哪里。逻辑连接符号”∧“代表”And“的意思。
