图论--中国邮递员问题
中国邮递员问题就比较悲催了。前后花了我大概有三天的时间。。今天才做完的。。
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首先描述一下问题：
邮递员从邮局出发送信，要求对辖区内每条街都至少通过一次，再回邮局。在此条件下，怎样选择一条最短路线？
如果街区形成的图本身就是一个欧拉回路，最短路自然是所有街道的总长度。可是如果不是，我们将必须重复一些路径，换句话说，怎样使重复的路径的总长度最短。
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这个问题涉及的问题包括：
（1）判别是否是欧拉回路（首先图必须是连通的，其次所有顶点的度数都为偶数。）
（2）如果不是欧拉回路，即有多个顶点的度数为奇数（我们且称它们为奇点吧，奇点的个数必定是偶数），则我们必须将该图构造成一个欧拉图，需要做的事情有：
? （2.1）计算各个奇点间的最短路径
? （2.2）将这些奇点以及奇点间的最短路径做为一个二分图，求二分图的最小权匹配。（例如，我们有四个奇点1,2,3,4, 则左1与右1之间的边的权重为无穷大，左1与右2的边的权重为奇点1到奇点2的最短距离，依此类推，最终得到的最小权总数是实际增加的路径长度的两倍）
? （2.3）最小权匹配得到的两两成对的顶点，将这些顶点之间的最短路径经过的边重复一遍，形成的欧拉回路将是最短的。
（3）找出一条欧拉回路。在网上看到有两种找法，一种是fleury算法，一种是我自己命名的画圈圈的方法，也就是用来证明“所有顶点的度数都为偶数的连通图必定是欧拉回路”的方法。
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因此，整个过程涉及到的算法包括：
（1）最短路径算法。（这个我想大家都懂，不必多说了）
（2）KM算法求二分图最小权匹配。（http://www.cnblogs.com/zhuangli/archive/2008/08/03/1259248.html?我主要也是参考这个的）
（3）fleury算法或“画圈圈”算法。
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具体实现的时候，我用两个矩阵来记录这个图，一个是点与点间的距离，一个是点与点间边的数目（一开始最多是一条），同时记录总路径长度。然后也用了两个数组来记录奇点，一个是作索引用的。把所有奇点做为起始点求最短路径。我在最短路径中把求到的最短距离记录到了二分图的权重矩阵中，并返回了记录路径的数组。然后把在最短路径中求出来的权重矩阵做为最小权匹配的输入，求出最优匹配。最后通过索引数组和在求最短路径时得到的路径(s)一一添加到记录点与点间边数的矩阵中，然后将它作为求欧拉回路的输入。
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主函数如下：
int connected( int** g, int vnum );int* bestMatch( int** weight, int n );path* eulerCircle( int** g, int* indgr, int num );main(){int vnum, onum, i, j, k, total=0, hasEuler=1;//ge is to record the number of edges between to nodes while gd the distanceint** ge, **gd;int* indgr;int** weight;printf( "enter the number of nodes: " );scanf( "%d", &vnum );ge = (int**)malloc( sizeof(int*)*vnum );gd = (int**)malloc( sizeof(int*)*vnum );for( i=0; i<vnum; i++ ){ge[i] = (int*)malloc( sizeof(int)*vnum );memset( ge[i], 0, sizeof(int)*vnum );gd[i] = (int*)malloc( sizeof(int)*vnum );}for( i=0; i<vnum; i++ )for( j=0; j<vnum; j++ )gd[i][j] = MXLEN;indgr = (int*)malloc( sizeof(int)*vnum );memset( indgr, 0, sizeof(int)*vnum );printf( "enter the lines and distance in the following format:\n" );printf( "startNode endNode distance (stop with -1)\n" );scanf( "%d", &i );while( i!=-1 ){scanf( "%d %d", &j, &k );ge[i][j]=1;ge[j][i]=1;gd[i][j]=k;gd[j][i]=k;total += k;indgr[i]++;indgr[j]++;scanf( "%d", &i );}//thus construct the matrices for our need//check connectivityif( !connected( ge, vnum ) ){printf( "the graph is not connected, no route could be found\n" );return ;}//check if there is an euler circle alreadyfor( i=0; i<vnum; i++ ){if( indgr[i] & 0x00000001 ){hasEuler = 0;break;}}//construct the graph to a euler pathif( !hasEuler ){//first of all, find out the nodes that have odd degreeonum = 0;j = 0;int* oddSet = (int*)malloc( sizeof(int)*vnum );memset( oddSet, -1, sizeof(int)*vnum );for( i=0; i<vnum; i++ ){if( indgr[i]& 0x00000001 ){onum++;oddSet[i] = j;j++;}}int* index = (int*)malloc( sizeof(int)*onum );//the paths are used to record the shortest path from nodes to nodes//it will be initialized by shortestPathint** paths = (int**)malloc( sizeof(int*)*onum );weight = (int**)malloc( sizeof(int*)*onum );for( i=0; i<onum; i++ ){weight[i] = (int*)malloc( sizeof(int)*onum );for( j=0; j<onum; j++ )weight[i][j] = MXLEN;}j=0;for( i=0; i<vnum; i++ ){if( oddSet[i]>=0 ){index[j]=i;paths[j] = (int*)malloc( sizeof(int)*vnum );//in the shortestPath we also construct the weight map of the oddSetshortestPath( gd, paths[j], vnum ,i, weight, oddSet ); j++;}}//now is to find the best Match for the oddsetint* result = bestMatch( weight, onum );for( i=0; i<onum; i++ ){ //reconstruct the shortestPath from paths[i]if( result[i] != -1 ){result[result[i]] = -1;int tmp1 = index[result[i]];int tmp = paths[i][tmp1];while( tmp!=index[i] ){ge[tmp1][tmp]++;ge[tmp][tmp1]++;indgr[tmp1]++;indgr[tmp]++;total += gd[tmp1][tmp];tmp1 = tmp;tmp = paths[i][tmp];}ge[tmp1][tmp]++;ge[tmp][tmp1]++;indgr[tmp1]++;indgr[tmp]++;total += gd[tmp1][tmp];}}}path* euler = eulerCircle( ge, indgr, vnum );printf( "total distance is %d\n", total );printPath( euler );freePath( euler );}?
connected()很简单，就是一个宽搜，确定整个图是连通的就好。
shortestPath()带了参数paths，weight, oddSet都是为了求最优匹配和重建路径而设的。paths记录的是最短路径中从起始点到目标点前的最后一个顶点，利用这个数组我们可以重建最短路径。
bestMatch()求最小权匹配，返回一个数组，记录匹配的结果。（算法原理可以看一下我上面提供的链接）
eulerCircle()从0开始，通过画圈圈的方法把欧拉回路给找出来。
最后一个函数我另开一篇记录吧，呵呵。
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