matlab基础学习（五）之映射和正交基

matlab基础学习（5）之映射和正交基

一、映射

在matlab中，矢量y正交映射到矢量x上的定义如下：

Px(y) = <y, x>/(x^2)*x


对于长度为N的列矢量y映射到长度为N的列矢量x上的计算方法如下：


yx = (x' * y) * (x' * x) ^ (-1) * x


更一般的， 长度为N的列矢量y映射到M维的子空间的 N x M的矩阵x，计算方法如下：


yX = X * (X' * X)^(-1) * X' * y


正交映射，像任何的有限维线性操作符，可通过矩阵表示，对于N x M矩阵，计算方法为：


PX = X * (X' * X)^(-1) * X'


PX被称为映射矩阵。

子空间映射是一个例子，其中矩阵的功率线性代数记号非常重要。

代码实现如下：

>> v1 = [1;2;3]v1 =     1     2     3>> v2 = [1;-2;3]v2 =     1    -2     3>> v1' * v2ans =     6>> V=[v1,v2]V =     1     1     2    -2     3     3>> W= orth(V)W =  -0.31622776601684   0.00000000000000   0.00000000000000  -1.00000000000000  -0.94868329805051   0.00000000000000>> W= orth(V)W =  -0.31622776601684   0.00000000000000   0.00000000000000  -1.00000000000000  -0.94868329805051   0.00000000000000>> W1=W(:,1)W1 =  -0.31622776601684   0.00000000000000  -0.94868329805051>> W2=W(:,2)W2 =   0.00000000000000  -1.00000000000000   0.00000000000000>> W1' * W2ans =   -3.157438761082832e-016>> W1'*W1ans =   1.00000000000000>> W2'*W2ans =     1>> W'*Wans =   1.00000000000000  -0.00000000000000  -0.00000000000000   1.00000000000000>> x = 2 * v1 - 3 * v2x =    -1    10    -3>> c1 = x' * W1c1 =   3.16227766016838>> c2 = x' * W2c2 =   -10>> xw = c1 * W1 + c2 * W2xw =  -1.00000000000000  10.00000000000000  -3.00000000000000>> error = x - xwerror =  1.0e-014 *   0.13322676295502                  0   0.08881784197001>> norm(error)ans =    1.601186416994689e-015>> x = [1; 0; 0]x =     1     0     0>> ca = x' * W1ca =  -0.31622776601684>> c1 = x' * W1c1 =  -0.31622776601684>> c2 = x' * W2c2 =    1.387778780781446e-016>> xw = c1 * W1 + c2 * W2xw =   0.10000000000000  -0.00000000000000   0.30000000000000>> error = x - xwerror =   0.90000000000000   0.00000000000000  -0.30000000000000>> norm(error)ans =   0.94868329805051>> W* error??? Error using ==> mtimesInner matrix dimensions must agree.>> W'* errorans =  1.0e-015 *  -0.16653345369377  -0.09984698057522>> 

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