C语言名题精选百则——其他问题?第7章其他问题问题 7_ 1 Buffon 丢計问题（BUFFON.C )在地面上画出距离为L的
C语言名题精选百则——其他问题
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第7章其他问题
问题 7_ 1 Buffon 丢計问题（BUFFON.C )
在地面上画出距离为L的平行线，有一根长度为D的针。如果把针随意地往地面上一 丢，请问压线的概率有多少？这就是有名的Buffon (人名）丢针（Needle)问题。请写一 个程序，用仿真的技巧，估计出针压线的概率。
【说明】
如图7-1所示，把针的一端视为一个参考点，讨论就以这个点为中心。当把针丢在地 上时，这个参考点距离下方平行线有x长，与下方平行线成0角。
图7-1
?
于是针的另一端与下方平行线的距离就是：
?
x + LsinG
如,这个值在0与D之间，亦即：
?
S0<x+Lsin?i<D
:#%针就没有压线，不然针就是压线的。
?
?因为针是随意丢的，x与0可能是0?D与0?2tc之间的任何一个数。于是可以产生 两个随机数，第一个在0?D之间，另一个在0?2n之间，分别表示x与8。如果一共产 生了 n个位置，而发现0个是没有压线的，那么压线的概率就大概是1-c/n。在理论上，这 个问题的答案是：
在写程序时不妨假定L与D都是1,看看得到的概率是否近似于2/JC，亦即近似于0.64。
?
阔题7.2三色旗闼题（FLAGC )
假设有一个数组，它有n个元素，每一个不外乎是红、白、蓝3种颜色之一的代号，
就说是R、W、B好了。这些元素在数组中并没有依同样颜色的元素排在一起的方式来排 列，请写一个程序把这些元素排成所有蓝色在前，然后是白色，最后是红色的排列方式， 不过在写程序时要满足下面的条件：
(1)不能用到额外的内存，换句话说，只能在数组之内用互换的方式完成。
(2)互换两个元素的动作要越少越好。
(3)对于每一个元素而言，测试它是红、白，还是蓝的工作，每种颜色最多只能做一 次测试。
在这个限制之下，请编写一个最快的程序。
【说明】
有些人很自然地会想到把蓝色当成1、白色当成2、红色当成3,然后用排大小的程序 把次序排出来，自然地蓝色在前，白色居中，红色最后了；完全正确，不过却违背了规定。 也就是说，互换两个元素的动作是不是太多了呢？对每一个元素测试它的颜色的行为是否 违反了要求呢？对前者而言，不同的排序方法会有不同数目的互换动作。比如说，如果用 选择法，每次找到i+1?n中最小的值，与第i个元素互换，那么排序的动作只不过用了 n-1 次互换。但是对第三个限制而言，就很难保证对每一个元素、每一种颜色都最多只测试一 次了。
第三个条件需要仔细地说明，x[i]表示第i个元素。第三个条件是说，x[i]== R, x[i]==W, x[i]==B这3个比较的任何一个都最多只能做一次。举个例子，如果在决定x[i]应该放在什 么地方时，上述3个比较都各做一次，是正确的。任取两个或任取一个各做一次，也是正 确的。但x[i]==R、x[i]==W、x[i]==R就是错的了，因为对R的测试做了两次。
其实这个题目并不难，把数组从头到尾查一次就可以做出结果，那3个繁琐的条件， 只不过是防止去用排序或“不够快”的方法来解题而己。问题7.3字符串列轚数的转换（X一ATOI.C )在平常课本中的atoi()函数范例，通常都不能查出溢位（Overflow)的情况，或者是米 理会这个情况而给出错误的结果，请修改这个atoi()程序，把转换后的结果用第二个参数返 回来。例如，x_atoi(s，*t)就用t返回结果，而函数则指出OVERFLOW (大于最大整数值), UNDERFLOW (小于最小整数值），NCLERROR (正常)，为了方便起见，假设使用的机器 是用2的补码来储存整数。有没有办法查出机器是用1的补码还是2的补码？
【说明】
atoi()函数的函数值是没办法检验是否正确的，除非把它用itoaO转换回字符串，再与原 字符串比较数字符号部分是否相等。程序在得到不正确的atoi()函数值之后还可以毫无其事 地工作，除非最终结果相当“奇怪”，否则很可能就会当成正确的结果，并且接收它。正因 为如此，使用atoi()就会有潜在的危险。所以，这个题目就是要加强atoi()的功能。例如，可以写一个x_atoi(s，*t)函数，接收一 个字符串s，把转换结果存放在t中返回来，同时，再利用函数值来指出OVERFLOW、 UNDERFLOW、NO_ERROR。请问，要如何修改atoi()这个函数呢？
问覉7.4整数类型列的祓值（LIMITS.C )请写一个程序，求出在<limits.h>这个引入文件中所定义的、各个有关整数类型的特 征值。
【说明】
或许使用的系统中的<limitS.h>有更多的信息，但在这个题目中主要的对象是整数类 型：char、short、int与long、signed或unsigned。要想办法，通过自己的程序找出每一个 整数类型各占用多少个数元。有符号（signed)时的极大值、极小值，无符号（unsigned) 时的极大值（极小值永远是0)。不要用sizeof,它是以char为基准的，而char占多少个数 元呢？另外，在特定的情况下——也就是说只写了 char，char类型是有符号还是无符号的 呢？知道机器是用1的补码还是2的补码吗？
为了方便起见，不必把程序写得具有100%的移植性，不妨假设符号数元在最左边，而 不是采用符号数元与其他位数分离的方式。
在程序中，不能引入<limits.h>,并且把值显示出来，也不能用sizeof,换句话说，只 能靠C语言的基本功能来做这件事。另外更重要的是，不要假设在用IBM PC、Mac、VAX 或任何用习惯了的机器；事实上在编写这个程序时不能以任何机器做假设换言之，移植 性固然不能做到100%,但总是越高越好，所以不妨想到溢位时程序可能会停执行，而失 掉计算结果这件事上头；这一点很重要，一些机器有此功能，所以要小心。
问题7.5无眼位数箕术（ARITH.C )请写一个使用十进制算术，并且可以计算任意位数精确度的正整数加法与乘法的程序。 【说明】
计算机中所存的值都只能有有限的精确度，例如long通常有9?10位，double则大约 有15位等，一旦计算结果越出了这个范围，值就不再是正确的了。然而在许多研究中，比 如计算机代数学（Computer Algebra)、几何论证（Geometric Reasoning)等，都不能有不精 确的值产生，因为产生了不精确（或近似）的值，整个推论过程甚至于结果就都不复成立。 所以，计算机科学家就开发出不少这一类型具有无限精确度的软件，比如MACSYMA、 Scratchpad II> Reduce、MATHEMATICA 等都是有名的例子。
在无限精确度的加、减法中，程序本身要提供没有误差的整数运算，而究竟有多少精确度则常常由硬件或内存决定；因此，要做两个1_位的十进制数相乘，结果差不多会有 2_位，一般而言并不是一件难事。
在这个题目中，要编写两个进行无限精确度算术的函数，一个是加法，一个是乘法;. 加法是简单的，在写乘法的程序时，千万不要直接使用手算的方式先把每个位数都乘出来， 最后用加法去加，这样会使乘法函数相当没有效率，应该想想如何避免这一点。闼题1.6线牲表示的矩砗相乘（MATMUL_C )在C语言中虽然号称功能比Pascal、Fortran强，但是在某些方面其实却并不见得有多 少改进，函数参数中的高维数组轉是一个例子，如果要保持数组的结构，那么就只能在第 一维留下空白而变成不完整数组，其他维度的容量还是得写出来。这一点只比Pascal好一 点点，而与Fortran、PL/1或Ada相比还差得远。在早期Fortran程序员为了突破Fortran的 限制而开发出一组很实用的技巧，本题与问题7.7的目的就在于此。请写3个函数，第一 个函数把二维数组转换成一维，第二个函数把一维转换成二维，第三个函数求两个代表二 维数组的一维数组运行矩阵相乘。
【说明】
要写的第一个函数不妨叫做：
void twoD_to_oneD(int TwoD[ ] [MAXSIZE], int m, int n, int OneD[]);
它接收一个二维数组TwoD[][](不知道有多少列，但内存中有MAXSIZE行)，目前 己经有了m列n行数据，再把这个数组以列为主的次序存入一个一维数组中，因此工作做 完之后，OneD门中有m*n个元素，前n个是TwoD[][]的第一列，其次的n个为第二列 等。注意，TwoD[][]与OneD[][]可能在同一个位置。
第二个函数是：
void oneD一to」woD(int OneD[ ]，int TwoD[ ] [MAXSIZE], int m, int n);
它把一维数组OneD门还原成原来的二维数组。注意，OneD[]与T\voD[][]可能在同一 个位置。
第三个函数为：
void matmul (int a[ ]’ int b[ ]’ int c[ ]，int L，int M，int N);
a[]、b[]都是一个二维数组转换成一维数组的形式，各有L列M行、M列N行，请把 a[]与b[]的乘积求出存入c[ ] (L列N行)。闼题7.7对称表示的矩砗相乘（MATMULJS.C )问题7.6的矩阵是一般形式的，但若是个对称矩阵，转换成线性形式就可以省下差不
?66 _多一半的内存位置，这就不止是方便的问题了。对一个n列n行的对称矩阵（它一定是方 阵）而言，如果用二维数组方式储存，就需要mTi个元素，但是因为是对称的缘故，储存 上半（或下半）三角形的部分就足够了，所以就只需要n(n+l)/2个位置而已。请对照上一 题，写出StwoDJ;o__oneD()、oneD_to—StwoD()以及Smatmul()这3个函数，但对象全都是对 称矩阵。
【说明】
因为对称矩阵一定是方阵，所以上一题的3个函数中的矩阵的列、行数目的参数就可 以合二为一，如下所示：
void StwoD_to_oneD(int TwoD[ ] [MAXSIZE], int n, int OneD[]); void oneD_to__StwoD(int OneDf ], int TwoD[ ][MAXSIZE], int n); void Smatmul (int a[ ]，int b[ ]，int c[ ]，int n);
前两个函数与问题7.6是相似的，但第三个函数SmatmulO就要小心些，因为在一维的 对称矩阵中，有一半的元素并没有储存起来，而是靠另一半（因为对称的关系）记录下来 的，因此在相乘时，除了第一列与最后一行之外，其他的列与行都不完全，要如何把它补 完全呢？问题7.8找霉钱问题（CHANGE.C )
某个国家一共发行了 ai,a2，a3，…，ak种不同面额的钞票，为了方便起见，假设 ai<a2<…<ak。现在手上有n,请问要如何把n兑换成apa2，a3，…，丨1￡这些鈔票，使得所
用钞票的量为最少。
【说明】
先说一个最常见的例子,如果有1元、5元、10元3种,而又有107元要兑换,于是= 1， a2=5, a3=10, n = 107。兑换方式很简单，用面额最大的去除，那就是最大面额钞票的 张数，比如说n/a3 =107/10 = 10,亦即10元的10张；除过之后就会有余数7，再用次大面
额的钞票去除，得商数1 (7/5=1),余数2,所以5元的一张；再把余数用第三大面额去除
(2/1)得商数2,余数0,于是1元的两张，但余数为0,于是就没有剩下来的钱了，因此
最后结果是10元10张，5元1张，1元两张。假若n = 78,那就是10元7张，5元1张，
1元3张，一般书中就是这样讲的，不过对1元、5元、10元这个例子而言，倒也是正确。
如果钞票的面额是1元、3元、4元（奇怪的数字，是吧？），要兑换10元呢？用上面
的方法，有4元两张（10/4=2,余2)、1元两张，一共用了 4张钞票。但若用两张3元、1
张4元，也兑出了 10元，却只用了 3张钞票。
这个例子说明，寻常所用的方法固然可以兑换钞票，但钞票张数却不是最少的；此外 问题是，请写一个程序，输入ai，a2…，ak*票面额，以及II个欲兑换的钱数，输出钞票张
数最少的兑换方式。问题7.9背包问题（KNAPSACK.C)
如果有n个对象，它们的计量单位各为kpk2，…，kn;现在有一个可以容纳K单位的M卷y..背包，请写一个程序，找出有没有办法在1，2，…，n中选p个元素出来，使得计量单位的总 和为K，可以刚好把背包装满。这就是有名的背包问题（Knapsack Problem )。
【说明】
就以计量单位分别是1，2，4，7，10,12,13,15,17这9个对象来看好了，若背包的容量是27 单位，可以取4，10与13，因此4+10+13=27;但也可以取2，12，13，因此27=2+12+13;更可 以取10与17，于是27=10+17;当然还有其他的可能解答。不过，这个题目却是不一定有 解的。例如，若对象的计量单位是1，5，10，15，20;而背包是14，物件中比14小的有1，5，10， 无论如何选择，都不可能加出一个14来的。
就像上一题找零钱的问题一样，可以用动态规划的技巧来解这个问题，不过会复杂一 些，但基本道理是完全相同的。
问题7.10最诖矩砗相乘顺序（PRODSEQ.C )
已知一连串的矩阵，…4“，要计算它们的连乘积'xAj…xAn_1;请写一 个程序，读入各个矩阵的维度的容量，找出一个使乘法数目为最少的计算方式。
【说明】
一个m列n行的矩阵与另一个n列k行的矩阵相乘，如果使用传统的方式，一共要使
用nrnk个乘法，原因是将第i列（II个元素）与第j列（也有n个元素）两两相乘时一共要
n个乘法，n-1个加法；但是因为相乘的结果是一个m列k行的矩阵，上述的行为就要重 复做mk次，因此就一共有mnk个乘法，mk(n-l)个加法。而加法比乘法快许多，所以一
般都只计算乘法的个数。
在求3个矩阵4丨，C的连乘时，数学公式可以写成Cd ?(??(：)，换言之， 先乘前两个与先乘后两个的结果是一样的，但在程序工作时效率却可能不尽相同。如果 4及C分别是a列b行、b歹lie行、c列d行的矩阵，那么A .J?要abc个乘法，结果是个a
列c行的矩阵;再把这个结果与C这个c列d行矩阵相乘,这要acd个乘法,所以求(A ?!?) -C 就需要&1)0 + &0(1 = &<:(1) + (!)个乘法。先乘遇就要用bed个乘法，得出一个b列d行的矩
阵，然后与它相乘，要abd个乘法，所以A ? (5 ? C)就要用bcd+abd=bdOH~c)个乘法。
一般而言，ac(b + d) *bd(a + c),所以就得选择值比较少的那一个方式。举个例子，如果
a=5、b=2、c=3、d=4,于是 ac(b + d) = 90 ,而 bd(a + c) = 64,于是 4 ? (B ? C)的乘法个
数比较少，效率比（Ad).C的高；反之，如果a=4、b=3、c=2、d=5, ac(b + d) = 64,但bd(a + c) = 90，于是G4*fi)*C就比较快。因此，当一连串矩阵连乘时，选择一个合
适的计算顺序往往可以使程序的效率提高很多。就以上例来看，快的方法只不过用了慢的 方法的71%左右的时间而已。
如果输入的是一连串数组的维度容量，比如说d。，^，…，dn, ‘与屯是第0个矩阵的
列数与行数，屯与句是第一个矩阵的列数与行数，…，士与di+1是第i个矩阵的列数与行 数，最后，第n-1个矩阵的列数与行数是dy与dn。有办法找出使乘法数目最低的计算方
式吗？
问题7.11最短路径问题（SHORTEST.C )
如果有一个矩阵/其中& >o表示i地到j地的距离。若i与j之间无路可通， ^就是无穷大（~);又\=0。请写一个程序，通过这个距离矩阵，把任意两个城市之间
的最短距离与其行经路径找出来。
【说明】
有4个城市如图7-2所示，彼此之间有路相通的都用箭头标了出来，在旁边的就是那 一条路的距离；例如，1到2的距离是5, 2到1却是50。很明显地从1到4的最短距离是 10，沿途经过1—2—4,而不是走2—3—4，因为距离是35。图7-2解法仍然是用动态规划。可以这样想，对于任何一对城市i与j而言，查每一个其他的 顶点k,看看i—…一k，再加上k—…一j的距离是否比目前i—j的距离还少，如果是，就 把i—j的距离改成中途经过k的距离。要如何找出i到k的行经路径呢？
在输入距离矩阵时建议釆用下面的形式：3
4 44
1
315
15
500 0 输入 SHORTEST,INl在此，第一列是指出有多少个城市(4);第二列以后各有3个数；第一与第二个是某条 路的起点与终点，第三个数则是那一条路的距离，最后用3个0作结束。上面的数据正好 对应着前面的图，城市的编号是1?n(城市总数)，不从0开始是避免与最后1列的3个0 有任何冲突。
所以，最好写3个函数，第一个读入数据，第二个算出最短路径，第三个把路径显示出来。 为了方便，如图7-3所示对应着另一个输入文件SHORTEST.IN2。可以执行程序，看o63^^7X 6X\/ 7 ^
43图7-3看结果，确认己经了解了问题2问题7.12产生匹配括号的字符串（PAR一GEN.C )请写一个程序，输入一个正整数的值，然后列出所有由n个左括号与n个右括号正确 地组成的字符串；当然，正确的左、右括号一定个数一样多，所以输入的值要是个偶数。
【说明】
所谓由括号正确地组成的字符串，指的是如果有一个左括号，那么在它的右边就一定 有一个与它相匹配的右括号。例如，00、（0),就是仅有的两个有4个符号的，由括号正 确地组成的字符串；000、（)(())、（())()、（(()))则是4个有6个符号，由括号正确地组成的 字符串。正因为有一个左（或右）括号就一定有相对应的右（或左）括号，左、右括号成 双出现，因此输入就一定要是偶数，奇数是不可能的。当输入n之后，在字符串中左、右 括号的个数就各是n/2个。
如何产生这样的字符串呢？下面就是一个有用的想法：如果在工作过程中己经产生了 若干左、右括号，为了要把产生的行为完成，还欠R个左括号、L个右括号，那么有没有办法找出产生下一个括号时L与R的关系呢？记住，递归是一个不容忽视的利器。问题7.13葙定伴侶问题（STABLE.C )
有n个男孩*",mn与n个女孩wpw2，…，wn。每一个男孩都依照他喜爱
这n个女孩的程度列成一张表，最喜欢的女孩排在第1位，最不喜爱的女孩排在第n位； 同样地，每一个女孩也依照她喜爱n个男孩的程度列成一张表。请写一个程序，把每一
个男孩与女孩的喜爱表格读入，并且把男孩与女孩一一配对，使得：如果1^与％()在一对 的话，那么第一，对!!^的喜爱表格中排在wq之前的女孩而言，她的伴侣在她的表格中一 定排在mp之前；第二，对wq的喜爱表格中排在mp之前的男孩而言，他的伴侣在他的表 格中一定排在wq之前。这就是稳定伴侣（Stable \fairiage)问?。
【说明】
这个问题恐怕要多说一些才能讲得明白d先讲不稳定（Unstable)的情况；如果m的 女伴记成PM(m),而w的男伴写成1\^~)。如果有一对男孩与女孩m与w,他们不是伴侣
(用上面的记号,m的伴侣是PM(m) ,w的伴侣是1^(\^))，但m比较中意w而不是1^(111), 则同时w比较中意m而不的时候，m与w就一定心不甘情不愿了。例如，如果A
与B是男孩，X与Y是女孩，A比较中意X，B比较中意Y, A与Y、B与X结伴，那么A 与Y心目中的情人都不是对方，B与X亦然，这就是不稳定的状况。稳定伴侣的问题，就是 要在喜爱的表格中配出最合适、稳定的伴侣，而不是“乔太守乱点鸳鸯谱”制造对对怨偶。 看一个完整的例子。假设男孩与女孩都用编号1，2，3，4，其喜爱表格如表7-1所示。表7-1男 孩女 孩1:24 ?131:21432:31422:43123:23143:14324:41324:2143
表格中指出，男孩1最中意的女孩是2,其次是4与1,最后是3;对于女孩3而言,她 最中意1，其次是4与3,最后是2,对于这两份喜欢表格而言，稳定伴侣是如表7-2所示。’
*表7-2男 孩女孩142A ?33241 ?1第1号男孩与第4号女孩配对，他们是不是怨偶？在第1号男孩喜欢表格中，排在第 4号女孩之前的是第2号；再看第4号女孩，在她的喜爱表格中排在1之前的是第2号男 孩，于是都符合了稳定的条件。用同样的方法可以查证其他的3对伴侣。
在编写程序时，可以用男孩为主，对女孩求婚，而由女孩由她的喜爱表格来决定接受 还是不接受；如果可以接受，就不妨先接受，等到有更中意的男孩求婚了，就中止上一个 约定（不是现实世界，不必太拘泥），另结新欢。数据证明，一定可以找出稳定伴侣的结 果的。
在常见的问题中，计算机择友就是一个类似的问题，但要求却比较松些，因为男女双 方不必列出对“所有”对象的喜爱程度，而且也有可能出现喜爱程度相同的情形，当然解 题的方法就复杂了。
? j 问题7.14单调矩砗的祓埴（MONO_MAX.C )在*这个题目中讲一个所谓的单调（Monotone)矩阵的概念。如果一个矩阵中的第i列 上的极大值所在的那一行记为ij; i<j时，ijSkj,也就是在上方的列的极大值会座落在
下方的列的极大值的左边，满足这个条件的矩阵就叫做一个单调矩阵。请写一个程序，接 收一个单调矩阵，找出这个单调矩阵中每一列的极大值。请估计一下程序用了多少次比较。
【说明】‘
这是个简单、有趣，但是却有其他用途的题目，看一个例子来澄清问题的本意，在下 面的5X5矩阵中:第1、2、3、4、5列的极大值分别在第1、2、2、3、5行，因此上一列的极大值都在 本列极太值的左上方，这正是条件。题目就在于找出每一列上的极大值，使程序输出 3，3，3，5，6。注意，只知道矩阵满足单调的条件，但却不知道极大值在何处，后者正是程序的 任务。要写出程序并不难，固定列的号码，在那一列上找极大值就行了，程序要比较m*n 次，m与a是矩阵的列数与行数，而程序却没有发挥“单调”这一特性。聪明一些的程序 员马上会想到这一点，从最下方一列开始做，找出极大值之后把它在那一行记住，就说在 第q行好了，然后在处理上一列时，就在第1?q个元素中找极大值即可。这是个不错的想 法，但还是不够好，因为还是做了差不多与n2成正比的比较次数（比如说极大值都在对角 线），能突破这一点吗？问题7.15向霣分类（CLASSIFY.C )
已知一组元素Xi，X2，…，Xm,其中每一个都是有n个量的向量，亦即Xi =[xil，xi2，… ,xb], n是个固定值。因为这些量，乂^并不一定是数值，所以比较大小有时不见得有意义，
只能假设对它们作比较相等或不相等的动作。编写一个程序，定出合理的数据结构，处理 这些XPX2，…，Xra，把它们相同的归在一类；乂，与乂』相同，就指的是Xil=Xjl，
xi2=xj2，…，Xin =Xjn。在写程序时，不妨假定Xij已经被编码成整数，但不能比大小。
【说明】
这是一个在实用中常见的题目，只不过换成一个容易了解的说明。一般而言，Xij不一
定是一个值，而可能是一个函数，当把i与j有关的数据代入该函数时，就会得到一个分类 用的值（亦即此处的xy)，但这个值却没有任何次序或大小的关系，所以用排大小的方式
就完全没有意义了。
另外一点，在应用中也不能像排序时一样，通过移动元素而把相同的向量归在同一类， 因此这些想法都使编程者有了如下的限制：
(1)向量中元素之间只能有相等或不等，而不能比大小。
(2)不能移动这些向量，因为它们很可能并不是一个值。
因此，有没有办法把这些向量分类呢？下面是几点可能有用的提示：
(1)为了方便起见，不妨把向量，…，xj想象成一个m列n行矩阵中的
第i列，所以Xij就正好是第i列第j行中的值；若不是一个值也无妨，可以把它想象成一
个指向函数的指针。
(2)因为不能移动各列，所以只好移动指向各列的指针。
(3)因为值没有大小的关系，所以排大小的技巧派不上用场，得另想它法。
(4)分类结果一般都遵守这样的规定：…，xj与Y = [yu,yi2，…，yin]是
两个向量，若那么在输入中有某个在Y之前的向量，它的第1个分量是xu时，
X就排在Y前面；若xi2=yi2,…，那么但是xu+1#yu+1,匆果在输
入中有某个向量的前j个分量与X以及Y的相同，而且第j+1个分量是Xi，^,不但如此，
该向量是出现在Y之前，那么X就在Y的前面。例如，若输入是：
X = [1,2,3]
Y = [2,3,4]
Z = [1,2,4]
那么输出是：x = [1,2,3]
Y = [1,2,4]
Z = [2，3，4]
对于Z与Y而言，因为在Y之前有一个向量（X)的第一个分量与Z的第一个分量相 同，所以Z就排到前面去。
这些条件看来复杂，但事实上却都是很自然的，因为在分类时有点像字符串顺序。在 写程?序时，不妨先不理会最后一点，等到程序正确无误之后再作进一步的尝试。注意，不 要排出顺序，而是列出哪一个向量在哪一类，因此对上面的数据而言，X，Y，Z分别在第1、 3、2 类。
