回溯法（2）
一、??回溯的基本思想是：
??? 从一个给定的起始位置，我们希望到达一个目的位置。
我们重复地进行选择（可能是猜测）下一个位置应当是什么。如果一个给定的选择是有效的， 即新的位置可能位于通向目的位置的途径中，则前进到这个新的位置，然后继续。 如果一个给定的选择通向了死胡同 ，则回到前面的位置，进行其他的选择。
回溯就是通过一系列位置选择到达目的位置，并且在不能到达目的位置时反向退回的策略。?
通俗的讲法：从一条路往前走，能进则进，不能进则退回来，换一条路再试。
算法书上可能这样说：回溯法是在包含问题的所有解的解空间树(或森林)中，按照深度优先的策略，从根结点出发搜索解空间树。 算法搜索至解空间树的任一结点时，总是先判断该结点是否满足问题的约束条件。如果满足进入该子树，继续 按照深度优先的策略进行搜索。否则，不去搜索以该结点为根的子树，而是逐层向其祖先结点回溯。
二. 算法设计过程
(1) 确定问题的解空间????
应用回溯法解决问题时，首先应明确定义问题的解空间。问题的解空间应至少包含问题的一个最优解。
(2) 确定结点的扩展规则?
约束条件。
(3) 搜索解空间?
???回溯算法从开始结点(根结点)出发，以深度优先的方式搜索整个解空间。这个开始结点就成为一个活结点，同时也成为当前的扩展结点。在当前的扩展结点处，搜索向纵深方向移至一个新结点。这个新结点就成为一个新的活结点，并成为当前扩展结点。如果在当前的扩展结点处不能再向纵深方向移动，则当前扩展结点就成为死结点。此时，应该往回移动(回溯)至最近的一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点。回溯法即以这种工作方式递归地在解空间中?
搜索，直至找到所要求的解或解空间中已没有活结点时为止。
三. 算法框架?
(1) 问题框架
设问题的解是一个n维向量(a1,a2,...,an),约束条件是ai(i=1,2,...,n)之间满足某种条件，记为f(ai)。
(2) 非递归回溯框架?
int a[n], i;?
i=1;?
while(i>0(有路可走) and [未达到目标]){ //还未回溯到头?
??if(i>n){ //搜索到叶结点?
????搜索到一个解，输出；?
??}else{?
???a[i]第一个可能的值；?
???while(a[i]不满足约束条件且在搜索空间内)?
????a[i]下一可能的值；?
????if(a[i]在搜索空间内){?
?????标识占用的资源；?
??????i = i+1; //扩展下一个结点?
???}else{?
?????清理所占的状态空间；?
?????i = i-1; //回溯?
???}?
?}?
}
(3)递归算法框架?
int a[n];?
try(int i){?
???if(i>n){?
??????输出结果；?
??}else{?
?????for(j=下界; j<=上界; j++){//枚举i所有可能的路径?
???????if(f(j)){ //满足限界函数和约束条件?
??????????a[i] = j;?
??????????... //其他操作?
?????????try(i+1);?
??????????a[i] = 0; //回溯前的清理工作(如a[i]置空)?
???????}?
?????}?
???}?
}?
四、例
1. 问题描述： 输出自然数1到n的所有不重复的排列，即n的全排列。
2. 问题分析：?
(1) 解空间： n的全排列是一组n元一维向量(x1, x2, x3, ... , xn),搜索空间是：1<=xi<=n i=1,2,3,...,n?
(2) 约束条件： xi互不相同。技巧：采用"数组记录状态信息", 设置n个元素的一维数组d，其中的n个元素用来记录数据?
1~n的使用情况，已使用置1，未使用置0
3. Java代码：
/** * 回溯法 * * @since jdk1.6 * @author 毛正吉 * @version 1.0 * @date 2010.05.25 * */ public class NAllArrangement { private int count = 0; // 解数量 private int n; // 输入数据n private int[] a; // 解向量 private int[] d; // 解状态 /** * @param args */ public static void main(String[] args) { //测试例子 NAllArrangement na = new NAllArrangement(5, 100); na.tryArrangement(1); } public NAllArrangement(int _n, int maxNSize) { n = _n; a = new int[maxNSize]; d = new int[maxNSize]; } /** * 处理方法 * * @param k */ public void tryArrangement(int k) { for (int j = 1; j <= n; j++) { // 搜索解空间 if (d[j] == 0) { a[k] = j; d[j] = 1; } else { // 表明j已用过 continue; } if (k < n) { // 没搜索到底 tryArrangement(k + 1); } else { count++; output(); // 输出解向量 } d[a[k]] = 0; // 回溯 } } /** * 输出解向量 */ private void output() { System.out.println("count = " + count); for (int j = 1; j <= n; j++) { System.out.print(a[j] + " "); } System.out.println(""); } } ?
运行结果：
C:\java>java NAllArrangement
count = 1
1 2 3 4 5
count = 2
1 2 3 5 4
count = 3
1 2 4 3 5
count = 4
1 2 4 5 3
count = 5
1 2 5 3 4
count = 6
1 2 5 4 3
count = 7
1 3 2 4 5
count = 8
1 3 2 5 4
count = 9
1 3 4 2 5
。。。。。。。。
?
【问题】 组合问题?
问题描述：找出从自然数1，2，…，n中任取r个数的所有组合。?
采用回溯法找问题的解，将找到的组合以从小到大顺序存于a[0]，a[1]，…，a[r-1]中，组合的元素满足以下性质：?
（1） a[i+1]>a[i]，后一个数字比前一个大；?
（2） a[i]-i<=n-r+1。
按回溯法的思想，找解过程可以叙述如下：?
???首先放弃组合数个数为r的条件，候选组合从只有一个数字1开始。因该候选解满足除问题规模之外的全部条件，扩大其规模，并使其满足上述条件（1），候选组合改为1，2。继续这一过程，得到候选组合1，2，3。该候选解满足包括问题规模在内的全部条件，因而是一个解。在该解的基础上，选下一个候选解，因a[2]上的3调整为4，以及以后调整为5都满足问题的全部要求，得到解1，2，4和1，2，5。由于对5不能再作调整，就要从a[2]回溯到a[1]，这时，a[1]=2，可以调整为3，并向前试探，得到解1，3，4。重复上述向前试探和向后回溯，直至要从a[0]再回溯时，说明已经找完问题的全部解。按上述思想写成程序如下：
public class TestComb{ public static void main(String args[]){ comb(6,3); } public static void comb(int m,int r){ int i=0,j; int a[]=new int[100]; a[i]=1; do { if (a[i]-i<=m-r+1)/*还能向前试探*/ { if(i==r-1)/*已经找到一个可行的组合解*/ { for (j=0;j< r;j++) System.out.printf("%4d",a[j]); System.out.println(); a[i]++;/*调整*/ continue; } i++;/*扩展,向前试探*/ a[i]=a[i-1]+1; } else/*不能试探,理应回溯*/ { if (i==0) /找到所有可行的解,结束*/ return; a[--i]++; /*调整,向后回溯*/ } }while(true); }}运行：
C:\java>java TestComb
1 2 3
1 2 4
1 2 5
1 2 6
1 3 4
1 3 5
1 3 6
1 4 5
1 4 6
1 5 6
2 3 4
2 3 5
2 3 6
2 4 5
2 4 6
2 5 6
3 4 5
3 4 6
3 5 6
4 5 6