动态规划实例篇
动态规划思想：
把问题规模不断缩小成小问题，并求解出小问题的结果，然后返回最优结果。
动态规划必须满足最优化原理和无后效性。
什么叫做最优化原理（最优子结构性质）：
简而言之，一个最优化策略的子策略总是最优的。一个问题满足最优化原理又称其具有最优子结构性质。
额外增加知识：
动态规划和递归不一样，递归是没有记录，对于同一个问题，出现多少次，会计算多少次。而动态规划不一样，对于相同的问题，只会计算一次。
下面以求最长公共子序列（LCS）为例:
问题描述
一个给定序列的子序列是在该序列中删去若干元素后得到的序列（元素的相对位置还是保持不变）。确切地说，若给定序列X=<x1, x2,…, xm>，则另一序列Z=<z1, z2,…, zk>是X的子序列是指存在一个严格递增的下标序列 <i1, i2,…, ik>，使得对于所有j=1,2,…,k有
例如，序列Z=<B,C,D,B>是序列X=<A,B,C,B,D,A,B>的子序列，相应的递增下标序列为<2,3,5,7>。
给定两个序列X和Y，当另一序列Z既是X的子序列又是Y的子序列时，称Z是序列X和Y的公共子序列。例如，若X=<A, B, C, B, D, A, B>和Y=<B, D, C, A, B, A>，则序列<B, C, A>是X和Y的一个公共子序列，序列<B, C, B, A>也是X和Y的一个公共子序列。而且，后者是X和Y的一个最长公共子序列，因为X和Y没有长度大于4的公共子序列。
最长公共子序列(LCS)问题：给定两个序列X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, … , yn>，要求找出X和Y的一个最长公共子序列。
解答
首先，要证明LCS是否有最优子结构性质。
设序列X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>的一个最长公共子序列Z=<z1, z2, …, zk>，则：
(1)若xm=yn，则zk=xm=yn且Zk-1是Xm-1和Yn-1的最长公共子序列；
(2)若xm≠yn且zk≠xm ，则Z是Xm-1和Y的最长公共子序列；
(3)若xm≠yn且zk≠yn ，则Z是X和Yn-1的最长公共子序列。
其中Xm-1=<x1, x2, …, xm-1>，Yn-1=<y1, y2, …, yn-1>，Zk-1=<z1, z2, …, zk-1>。
在这里，重新描述一下。
问题对象(PO)是X=<x1, x2, …, xm>和Y=<y1, y2, …, yn>
把PO问题不断降低规模，也就是
x<1,m-1> y<1,n-1>
x<1,m-2> y<1,n-2>
x<1,m-3> y<1,n-3>
......
求出这一系列问题的值，选择最优值。
这个就是动态规划思想啦。
根据上面(1)、(2)、(3)，可以看出是不断降低问题规模，求出问题最优（最长）值。
因此，最长公共子序列问题具有最优子结构性质。
由性质导出子问题的递归结构
当 i = 0 or j = 0 时 , c[i][j] = 0
当 i , j > 0 ; xi = yi 时 , c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1
当 i , j > 0 ; xi != yi 时 , c[i][j] = max { c[i][j-1] , c[i-1][j] }
如图所示：
相关代码如下：
int[][] b = new int[x.length][y.length]; //记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的 int[][] c = new int[x.length][y.length]; //记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度 for(int i = 0; i < x.length; i++) c[i][0] = 0; for(int j = 1; j < y.length; j++) c[0][j] = 0; for(int i=1; i<x.length; i++) { for(int j=1; j<y.length; j++) { if( x[i] == y[j]) { c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1; b[i][j] = 1; } else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]) { c[i][j] = c[i-1][j]; b[i][j] = 0; } else { c[i][j] = c[i][j-1]; b[i][j] = -1; } } }