【编程之美】读书笔记：寻找最大的K个数
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问题：查找大量无序元素中最大的K个数。
解法一：该解法是大部分能想到的，也是第一想到的方法。假设数据量不大，可以先用快速排序或堆排序，他们的平均时间复杂度为O(N*logN),然后取出前K个，时间复杂度为O(K)，总的时间复杂度为O(N*logN)+O(K).
当K=1时，上面的算法的时间复杂度也是O(N*logN)，上面的算法是把整个数组都进行了排序，而原题目只要求最大的K个数，并不需要前K个数有限，也不需要后N-K个数有序。可以通过部分排序算法如选择排序和交换排序，把N个数中的前K个数排序出来，复杂度为O(N*K),选择哪一个，取决于K的大小，在K(K<logN)较小的情况下，选择部分排序。
解法二：(掌握)避免对前K个数进行排序来获取更好的性能(利用快速排序的原理)。
假设N个数存储在数组S中，从数组中随机找一个元素X，将数组分成两部分Sa和Sb.Sa中的元素大于等于X,Sb中的元素小于X。
出现如下两种情况：
(1)若Sa组的个数大于或等于K，则继续在sa分组中找取最大的K个数字 。
(2)若Sa组中的数字小于K ，其个数为T，则继续在sb中找取 K-T个数字 。
一直这样递归下去，不断把问题分解成小问题，平均时间复杂度为O(N*logK)。
代码如下：
/*将数组a[s]...a[t]中的元素用一个元素划开，保存中a[k]中*/void partition(int a[], int s,int t,int &k) { int i,j,x; x=a[s]; //取划分元素 i=s; //扫描指针初值 j=t; do { while((a[j]<x)&&i<j) j--; //从右向左扫描,如果是比划分元素小，则不动 if(i<j) a[i++]=a[j]; //大元素向左边移 while((a[i]>=x)&&i<j) i++; //从左向右扫描，如果是比划分元素大，则不动 if(i<j) a[j--]=a[i]; //小元素向右边移 }while(i<j); //直到指针i与j相等 a[i]=x; //划分元素就位 k=i; } /*查找数组前K个最大的元素，index:返回数组中最大元素中第K个元素的下标(从0开始编号),high为数组最大下标*/int FindKMax(int a[],int low,int high,int k){ int q;int index=-1; if(low < high) { partition(a , low , high,q); int len = q - low + 1; //表示第几个位置 if(len == k) index=q; //返回第k个位置 else if(len < k) index= FindKMax(a , q + 1 , high , k-len); else index=FindKMax(a , low , q - 1, k); } return index;}int main(){ int a[]={20,100,4,2,87,9,8,5,46,26}; int Len=sizeof(a)/sizeof(int); int K=4; FindKMax(a , 0 , Len- 1 , K) ; for(int i = 0 ; i < K ; i++) cout<<a[i]<<" "; return 0;} 解法三:(掌握)用容量为K的最小堆来存储最大的K个数。最小堆的堆顶元素就是最大K个数中的最小的一个。每次扫描一个数据X，如果X比堆顶元素Y小，则不需要改变原来的堆。如果X比堆顶元素大，那么用X替换堆顶元素Y，在替换之后，X可能破坏了最小堆的结构，需要调整堆来维持堆的性质。调整过程时间复杂度为O(logK)。 全部的时间复杂度为O(N*logK)。
这种方法当数据量比较大的时候，比较方便。因为对所有的数据只会遍历一次，第一种方法则会多次遍历数组。 如果所查找的K的数量比较大。可以考虑先求出k` ，然后再求出看k`+1 到 2 * k`之间的数据，然后一次求取。
代码如下：
void heapifymin(int Array[],int i,int size) { if(i<size) { int left=2*i+1; int right=2*i+2; int smallest=i;//假设最小的节点为父结点 //确定三个结点中的最大结点 if(left<size) { if(Array[smallest]>Array[left]) smallest=left; } if(right<size) { if(Array[smallest]>Array[right]) smallest=right; } //开始交换父结点和最大的子结点 if(smallest!=i) { int temp=Array[smallest]; Array[smallest]=Array[i]; Array[i]=temp; heapifymin(Array,smallest,size);//对调整的结点做同样的交换 } } }//建堆过程，建立最小堆,从最后一个结点开始调整为最小堆void min_heapify(int Array[],int size) { int i; for(i=size-1;i>=0;i--) heapifymin(Array,i,size); } //k为需要查找的最大元素个数，size为数组大小，kMax存储k个元素的最小堆void FindMax(int Array[],int k,int size,int kMax[]){ for(int i=0;i<k;i++) kMax[i]=Array[i]; //对kMax中的元素建立最小堆 min_heapify(kMax,k); printf("最小堆如下所示 : \n");for(i=0;i<k;i++)printf("%4d",kMax[i]);printf("\n"); for(int j=k;j<size;j++) { if(Array[j]>kMax[0]) //如果最小堆的堆顶元素，替换 { int temp=kMax[0]; kMax[0]=Array[j]; Array[j]=temp; //可能破坏堆结构，调整kMax堆 min_heapify(kMax,k); } } }int main(){ int a[]={10,23,8,2,52,35,7,1,12}; int length=sizeof(a)/sizeof(int); //最大四个元素为23,52,35,12/***************查找数组中前K个最大的元素****************/ int k=4; int * kMax=(int *)malloc(k*sizeof(int)); FindMax(a,k,length,kMax); printf("最大的%d个元素如下所示 : \n",k); for(int i=0;i<k;i++) printf("%4d",kMax[i]); printf("\n"); return 0;}
解法四：这也是寻找Ｎ个数中的第Ｋ大的数算法。利用二分的方法求取TOP k问题。 首先查找 max 和 min，然后计算出mid = (max + min) / 2该算法的实质是寻找最大的K个数中最小的一个。
const int N = 8 ; const int K = 4 ; /* 利用二分的方法求取TOP k问题。 首先查找 max 和 min，然后计算出 mid = (max + min) / 2 该算法的实质是寻找最大的K个数中最小的一个。 */ int find(int * a , int x) //查询出大于或者等于x的元素个数 { int sum = 0 ; for(int i = 0 ; i < N ; i++ ) { if(a[i] >= x) sum++ ; } return sum ; } int getK(int * a , int max , int min) //最终max min之间只会存在一个或者多个相同的数字 { while(max - min > 1) //max - min的值应该保证比两个最小的元素之差要小 { int mid = (max + min) / 2 ; int num = find(a , mid) ; //返回比mid大的数字个数 if(num >= K) //最大的k个数目都要比min值大 min = mid ; else max = mid ; } cout<<"end"<<endl; return min ; } int main() { int a[N] = {54, 2 ,5 ,11 ,554 ,65 ,33 ,2} ; int x = getK(a , 554 , 2) ; cout<<x<<endl ; getchar() ; return 0 ; }
该算法在实际应用中效果不佳。
解法五：如果N个数都是正数，取值范围不太大，可以考虑用空间换时间。申请一个包括N中最大值的MAXN大小的数组count[MAXN]，count[i]表示整数i在所有整数中的个数。这样只要扫描一遍数组，就可以得到第K大的元素。
代码如下：
for(sumCount = 0, v = MAXN -1; v >=0; v--) { cumCount += count[v]; if(sumCount >= k) break; } return v;
扩展问题：
1.如果需要找出N个数中最大的K个不同的浮点数呢？比如，含有10个浮点数的数组（1.5，1.5，2.5，3.5，3.5，5，0，- 1.5，3.5）中最大的3个不同的浮点数是（5，3.5，2.5）。
解答：除了解法五不行，其他的都可以。因为最后一种需要是正数。
2. 如果是找第k到第m（0<k<=m<=n)大的数呢？
解答：可以用小根堆来先求出m个最大的，然后从中输出k到m个。
3. 在搜索引擎中，网络上的每个网页都有“权威性”权重，如page rank。如果我们需要寻找权重最大的K个网页，而网页的权重会不断地更新，那么算法要如何变动以达到快速更新（incremental update）并及时返回权重最大的K个网页？
解答：(解法三)用堆排序当每一个网页权重更新的时候，更新堆。