高数题，看到题目就能想到答案，但是具体怎么证明求解，有些难住我了
对于任意正数a，b有f(ab)=f(a)+f(b)，且f’(1)=1，证明f(x)在(0,+ ∞)可导，并求f(x)及f’(x).
[解决办法]
对任意 x>0,有
f(x) =f((x^(1/n))^n) =n*f(x^(1/n))
又 lim(n->无穷大) x^(1/n) =1, f(1) =f(1)+f(1),f(1) =0;
所以
f(x) =n*[f(x^1/n)-f(1)]
=n*[x^(1/n)-1]*{[f(x^1/n)-f(1)]/[x^(1/n) -1]}
注意到:
lim(n->无穷大){[f(x^1/n)-f(1)]/[x^(1/n) -1]} =lim(t->1){f(t)-f(1)}/{t-1} =f'(1) =1;
以及
lim(n->无穷大)n*[x^(1/n)-1] =ln(x) (ln指自然对数)
可知:
f(x) =ln(x)
证毕.
[解决办法]
直接由:
i) f(1*1)=f(1)+f(1) => f(1)=0
ii) f(y)-f(x)=f(y/x)=f(y/x)-f(1) =>
[f(y)-f(x)]/(y-x) = 1/x*[f(y/x)-f(1)]/(y/x-1)
让y->x,得到，f(x)可导，而且
f'(x) = 1/x*f'(1)=1/x
所以f(x)=ln(x)
这个题目给出的条件已经很强了，
其实只要给出
f(ab)=f(a)+f(b)
f在1处连续，已经可以得出f(x)是对数函数了（底任意）
