高数，看到题目可以想得到答案，可是为什么，如何分析？？？
设f(x)=[g(x)-cosx]/x，x!=0
=a, x=0
其中已知g(x)二阶可导，且g(0)=1，（1）问a取何值时，f(x)在0处连续；（2）当f(x)连续时，证明f’(x)也处处连续。
[解决办法]
那就是说，lim(x->0)( [g(x)-cosx]/x) = a
很显然，上面的极限是0，这是因为当x->0时，cos(x)~1-x^2/2, g(x)-cos(x) ~ x^2/2, f(x)~x/2
如果f(x)连续，则f‘(x)在不等于0部分很显然连续，而在0处，由于f(x)~x/2，显然f'(x)也连续
[解决办法]
呵呵,如果 g(x) = x+ cos(x) 呢?
此时 f(x) 恒为1
满足条件
楼上推理中的: g(x)-cos(x) ~ x^2/2
是没有道理的.
事实上有g(x) 二阶可导,应用 那个啥(好像叫泰勒...很久不用,忘了)展开式,可以得到: (好像用那个啥子中值定理就可以搞定了)
g(x) =g(0) +x*g'(0) +o(x)
所以:
g(x) -cos(x) ~ x*g'(0) +x^2/2 +o(x) =x*g'(0) +o(x)
so:
a =g'(0) 时 f(x) 在0点连续
