线性代数书后的一个习题,想了好久都没想出来的......
设3阶对称阵A的特征值为λ1=6,λ2=λ3=3,与特征值λ1对应的特征向量为p1=(1,1,1)’,求A
思路:像这样类似的问题,我做出过题目给三个特征值,两个特征向量的对称阵的,但是只个一个特征向量的,我算了好久都没想出来.
由题意,容易得知
|A|=λ1λ2λ3=6*3*3=54 (1)
设A为{a m s
m b n
s n c}
∴a+b+c=λ1+λ2+λ3=12 (2)
(A-λ1*E)*p1=0
{a-6 m s
m b-6 n
s n c-6}*(1,1,1)’=0
∴a-6+m+s=0
b-6+n+m=0
c-6+s+n=0
∴a+m+s=6 (3)
b+n+m=6(4)
c+s+n=6(5)
其中(1)可以化成
abc+2mns-bs^2-an^2-cm^2=0(1)
根据这五个式子,解六个未知数,似乎不大可能,谁能告诉我,还有什么条件我没推出来的,或者其它的思路来解这题的?Thank you
[解决办法]
因为λ2，λ3相等，并且实对称矩阵A对应于3个特征值的3个特征向量是两两正交的，所以对应于λ2，λ3的特征向量{x,y,z}’满足方程
x+y+z=0
该方程的两个正交解就是λ2，λ3的特征向量，记为p2,p3，那么记P={p1,p2,p3}，则
P^(-1)AP = diag(6,3,3)
这样很容易就算出A了
