数学需换一个角度思考
一、最近在一个朋友的博文中读到这样一道数学题，：
一个班级用20元为全班参加义务劳动的同学买水喝，一瓶纯净水需要1元钱，而且商店规定，两个纯净水空瓶也可以换一瓶纯净水，问：这个班的同学最多可以喝到多少瓶水？
常规的解法是这样的
1、20元可以买20瓶纯净水。
2、20个空瓶可以换10瓶纯净水。
3、10个空瓶可以换5瓶纯净水。
4、5个空瓶可以换2瓶纯净水，余1个空瓶。
5、3个空瓶可以换1瓶纯净水，余1个空瓶。
6、2个空瓶可以换1瓶纯净水。
7、聪明的学生向店家赊1瓶纯净水，然后还店家2个空瓶。
学生累计共喝了：20+10+5+2+1+1+1=40（瓶）
如果有学生能够按上边的思维方式解答这道题，已属聪明学生。但这属于正常的数学思维方法，换一个角度思考，问题非常的简单。
20元钱可以买20瓶纯净水，即1元钱1瓶；2个空瓶可以换1瓶纯净水，即2个空瓶相当于1元钱，也就是1个空瓶相当于0.5元，这时可以想到，1瓶纯净水瓶内装的水仅价值0.5元。我们是喝水的，不是吃纯净水瓶子的，我们不要空瓶子，0.5元可以喝1瓶水，20元最多可以喝：20/0.5=40（瓶）
二、在一本中招数学试题集中，看到这样一道数学题：
1/4
1/8
如图：边长为1的正方形，每次染红一个矩形，第一次染红的矩形面积为1/2，第二次染红剩下矩形的面积的一半，以后每次染红剩下矩形面积的一半。问
（1）、第n次染红的矩形的面积是多少？
（2）、n次染红的前n个矩形的面积的和是s，当n很大时，求s的近似值。
常规思维的解法是这样的：
第一次染红的矩形面积为：1/2
第二次染红的矩形面积为：1/4
第三次染红的矩形面积为：1/8
······
第n次染红的矩形面积为：1/2n
S=1/2+1/4+1/8·······+1/2n
现在的初中学生，按常规思维，很难再求n很大时S的值。
此题如果换一个角度思考这个问题，非常的简单，当染红了第n个矩形后，剩下的没有被染的图形的面积是多少？是1/2n,所以
S=1-1/2n
当n很大时，S=1-1/2n=1
