我曾经看过这样一个耐人寻味的事：一位中国学者抚摸着一位美国教授女儿的头，夸奖道：你真聪明！然而教授却认为中国学者的夸奖伤害了她的女儿，要求中国学者向他女儿道歉，他说：“你是因为她的聪明而夸奖她，而聪明不是她的功劳，你夸奖了她，孩子很小，不会分辨，她就会认为这是她的本领，而且一旦认为天生的聪明是可以骄傲的资本，她就会看不起其他的孩子，而不去开发自己的智慧。而且你未经她允许就抚摸她的头，这使她认为一个陌生人可以随意抚摸她的身体而不经她的同意。”教育观念的不同，让本来好心的中国学者尴尬至极，让两位好朋友不欢而散。
再来看看一位美国教师教学《鸡兔同笼》问题的实录：
某个住在湖边的老人养有狗和鸭子。某天，老人看到5个头和14只脚。老人看到的是多少条狗？多少只鸭？
老师：能不能找到解决问题的方法？
学生们纷纷要求回答问题。
学生A：要找到答案并不难，只要两个公式：一个解决脚的问题，另一个解决头的问题……
老师制止学生A继续往下讲，说道：“很好！谁来设计这两个公式？”
学生B：设狗为X，设鸭为Y；4(x)+2(y)=14。
学生C写道：x+y=5。
老师：这两个公式对不对？
学生七嘴八舌：“对啦！”
老师：现在我们不要去计算答案。我们按照这两个公式来推理，看看答案是否合理……
大家你望我，我望你。不让计算，却去猜答案。老师葫芦里卖的什么药？
老师：犯愁了？不错！我们现在不打算去计算准确的答案，我们只是去猜测大致的答案。
学生仍然丈二和尚摸不着头脑……
老师：既然你们不回答，那我就来问你们，5条狗和4只鸭，对不对？
学生哄然：不对！5条狗和4只鸭，一共是9个头，老人只看到5个头。
老师：那么，谁能告诉我，狗脚和鸭脚的数目？
学生们又是你望我，我望你，不知所措……
老师：如果我告诉你们，狗不少于4条。你们认为怎么样？
学生B：不对，请看看我设计的公式：脚的总数是14，而4条狗就有16条腿。除非老人喝醉了，把自己的脚也数进去了！
哄堂大笑！
老师：非常好！那能不能是3条狗呢？
学生们陷入思考……
学生C：那也不对！
老师很感兴趣地问：“为什么？”
学生C：除非有1只鸭子，少了两条腿。您看我设计的公式，总共有5个头。3条狗有12只脚。要符合5个头，14只脚的条件，就只剩两个鸭头，两只鸭脚。因此，除非有1只鸭没有脚……
又是一阵哄堂大笑！
老师：好吧，让我们假设所有的狗和鸭子都是进化完整的，没有缺胳膊少腿的。那么，该有多少只鸭子呢？
学生再没有像前面那样沉默，而是议论纷纷。
学生D：不管怎么说，前提是不能超过5个头，14只脚。
老师：如果狗少于3只，我们能在鸭子的数量上做什么文章呢？
学生E：这就是说，鸭子必须是3只以上。因为，头的总数是5个，狗少于3只，鸭子没有3只以上凑不够5只。
老师：有道理。狗只能少于3只，鸭不能少于3只。那么，我们应该寻找的下一个线索是什么呢？
学生思索……
老师：如果是3只鸭子，鸭脚应该是……
学生们：6只鸭脚。
老师：对！如果是3只鸭子，6只鸭脚，狗的数目又该怎么算呢？
学生A：如果狗脚不能多于12只，这就是说，狗不能多于3条，鸭子至少得有3只才能凑够5个头。3只鸭，鸭脚就是6只。于是，狗只能是2条，狗脚……
老师高兴地大笑：“好！不要往下说了。请大家用公式计算吧。”
到了这一步，再用公式计算，简直是吃豆腐：狗是2条，鸭是3只。
学生B有些不太高兴：“老师，看到您那么高兴，我倒有些费解了。这2条狗、3只鸭的答案，我们推理来推理去，花了快一节课的时间。其实，一开始就让我们拿公式来算，早就该做完了……”
老师微笑着点头：“你提出了一个非常好的问题，甚至超过了‘2条狗，3只鸭’的答案。请大家想一想，为什么我们没有一开始就用公式来计算，而是花了一节课的时间来走完整个推理的过程？”
学生E：我们浪费了不少时间去推论那些不正确的答案。
学生C：我不同意“浪费”的说法。有时候，你不能证实一个答案是错的，你就不能证实另一个答案是对的。
学生F：但是，值不值得花那么多时间？
学生们七嘴八舌……
笼里有5个头和14只脚，一共几只兔几只鸡？在许多人眼里，这完全是一个计算问题。设狗为X，鸭为Y，x+y=5；4(x)+2(y)=14。
我们认为很简单的问题，美国老师为什么把它复杂化，而用一节课的时间去研究它呢？这位老师是这样说的：“数学课不是算术，更不是用一个似懂非懂的公式去计算一个只有公式才能告诉你的答案。公式告诉你做什么？怎么做？我们充其量像个计算器。要真正理解：为什么这么做是对的？为什么那么做是不对的？问题就不那么简单了。就像知道点击电脑的什么键，电脑会怎么反应一样，那是电脑操作员的工作。只有理解：为什么点击电脑的这里会产生这个结果？为什么点击那里会产生那个结果？那才能成为电脑程序员。我们要的是通过演绎推理和归纳推理来证实某些答案，以及在这个过程中所培养和锻炼的推理能力。”
听了这个老师的话，我们是不是该为这位老师的教育目标鼓掌，是不是让我们有所思考：数学教育的实质是什么？“数学不仅仅是计算和应用公式。数学的实质是一种思维方式，是演绎推理和归纳推理的逻辑思维方式”。想想我们平时的教学，我们事先有精心的设计，我们在备课的时候即备教学内容，又备学生，一节课我们按自己的设计引导学生思考、引导学生探究、引导学生操作、引导学生交流，学生的思维、学习完全在我们的引导之下，有时我们甚至为了完成本节课的教学任务而剥夺了学生发出疑问、提出问题的时间。课堂看似是完美无缺，教学内容处理完了，教学计划完成了，学生学会计算了，但我们要求的是“知其然”，而没有“知其所以然”，我们只讲了已知的正确的东西，而忽略了让学生去证实自己的假设，也就是忽略了学生的怀疑精神的培养。培养学生演绎推理和归纳推理的能力就更不能实现。
看来，我们的教育观念、我们的课堂仍需要改革，我们要努力把我们的课堂变成学生自主探究的主阵地，多注重孩子的自我教育，自我提高，让我们的孩子不单单能知道答案，要回提出问题，会表达自己的观点，善于发明、善于猜想、善于运用、善于反思、善于总结，让我们聪明的孩子变成智慧的孩子！
