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吉米多维奇:数学分析习题集学习指引(第1册) [平装] |  |
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吉米多维奇:数学分析习题集学习指引(第1册) [平装] | |
当年学习数学分析时，我们和很多同学一样，慕名选取《吉米多维奇数学分析习题集》（以下简称为《习题集》）来训练和检验自己的解题能力，巩固和加深对课程基本内容的理解。在使用该书中，有的题在通过艰苦的思考后有所收获，有的题需要请教老师或同学才能解决。从中我们往往发现困难的原因，有的是由于知识的不足，而更多的则是思维能力的欠缺和数学方法方面的匮乏。
工作后我们有幸从事数学分析课程的讲授，在多年的教学实践中对于学习解题的重要性有了更深的体会。仅仅将解法表达清楚还只是第一步，关键是使得学生在解题的思考过程和方法方面有所收获，而这也是数学分析课程必然要承担的任务。
无独有偶，高等教育出版社的赵天夫编辑也有上述类似的观点。他约请我们为最新版的《吉米多维奇数学分析习题集》f根据俄文2003年版翻译）编写学习指引，这就是本书（以下简称为《指引》）的由来。
在《习题集》中既有为初学者而设的入门题，也有达到考研水平的难题，既有理工科都需要训练的基本计算题，也有理科教学中必须学习的证明题，此外还包含了许多有趣的应用题，因此该书具有特别巨大的读者群体。为此我们在编写这本《指引》时必然要考虑到不同层次读者的不同需要。一方面，如达。芬奇教学生画画时从画蛋入手，“千里之行，始于足下”，《指引》的每一节都从基本题和基本的思维方法开始。另一方面，在本书中力求不回避任何困难，因为解决《习题集》中的部分较难习题的过程正是培养独立思考和发挥自己的创造才能的极佳机会。此外，为提供新的工具或解决某些问题的需要，本书还增加了若干命题。我们希望本书对于从初学者直到已经学过微积分的许多不同读者都能提供适当的帮助。
“授人以鱼不如授人以渔”。在讲解习题的解答时，我们希望回答“它是如何想出来的”，这样才不至于做了一百道题之后还不知道如何去解第一百零一道题。当然这在很爹隋况下是几乎不可能完成的任务，但我们仍然努力从多个方面去接近这样的目标。
《指引》中选择了部分题写出解答，或只作分析，其目的是为了介绍方法，而不是“就题论题”地列出其答案。一方面，我们要求一法多用，而且还希望突出方法的出发点、其中所用的技巧或者其背后的数学思想。另一方面，对于很多题我们又给出一题多解，特别是在解法的简洁易懂和生动有力方面下功夫。这是为了从多种角度去探索问题的核心所在，在寻找更完美的解法中提高对数学的鉴赏水平以及我们自身的思维能力。
在《习题集》中有各种类型的题，其中还包含了许多基本定理。读者很需要了解它们的意义。在《指引》中经常通过注解等形式对习题解释其意义，点明其来龙去脉，指出在《习题集》内部的前后关照，以及说明它们与数学分析以外知识的联系。
《指引》重视通过直观的几何图像发展形象思维的能力。凡是几何思维对揭示问题本质有益之处尽可能配以相应的插图。第一册中的插图总数超过180幅，此外还有两个附录中的300多幅的函数图像。所有图形都用PSTricks软件绘出。
插图：
内容简介本节的习题可分为以下部分：数学归纳法与若干恒等式和初等不等式、有理数集的戴德金分割与实数的定义、确界定义与性质、与绝对值有关的不等式和等式、绝对误差与相对误差。按照以上内容分小节叙述。最后的补注小节解答较难的习题，对数学归纳法作补充，并证明本书将经常使用的平均值不等式。
1.1.1 数学归纳法（习题1-10）
数学归纳法是本书所用的基本方法之一。
这里的习题1-5是关于正整数几的恒等式，习题6-10是关于n的不等式，它们都是高等数学中经常使用的结果，也是学习数学归纳法的好材料。
由于数学归纳法是中学数学的必修内容，这里不再对它从头开始作介绍，而只是作一些补充。
数学归纳法是用于数学证明的一种工具。凡是与正整数n有关的命题，不论是恒等式还是不等式，都有可能用数学归纳法给出证明。如果证明成功了，则就认为该命题在数学上已经确认为真。但是与正整数有关的命题也有很多不能用数学归纳法给出证明，这就是说数学归纳法不是万能的。
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