自然数一

公理1.1：0是一个自然数

公理1.2：若n是自然数，则n++也是自然数

公理1.3：0不是任意自然数的后继数，即对任意自然数n，都

公理1.4：不同的自然数必有不同的后继数，也就是说若，则。等价的若m++=n++，则m=n。

公理1.5（数学归纳公理）：设P(n)是关于自然数的一个性质，在P(0)为真的假定下，若假设P(n)为真，则P(n++)也为真，那么对于每个自然数n,P(n)性质都是真的。

注：n++表示n的下一个数，文中写为n的后继数。

目的：Peano公理定义自然数是为了避免像｛0，1，2，3，....｝这种直观定义自然数所产生的不确定性。如果我们把自然数定义为像｛0，1，2，3，....｝的一个集合，那么我们就无法准确描述第n个数后面会怎样（虽然我们都知道）。因此一个确定的定义后面n个直至无穷个自然数的定义方法是必须的。这里面公理1.5是核心，公理1.1与1.2是为了满足公理1.5的条件。公理1.3、1.4是用于修正的公理，公理1.3防止｛0，1，2，3，4，0，....｝这样的事发生，公理1.4防止｛0，1，2，3，4，2，3，4....｝这样的事发生。形象的说就是防止自然数这个数列打结。

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定义1.1：设m、n为自然数，0+m:=m，假设已经定义n+m，则(n++)+m:=(n+m)++。

引理1.1.1：对任意自然数n，n+0=n。（以定义及归纳法证）

引理1.1.2：对任意自然数m、n，n+(m++)=(n+m)++。（以定义及归纳法证）

引理1.1.3(加法交换律)：对任意自然数m、n，n+m=m+n

引理1.1.4(加法结合律)：对任意自然数a、b、c，(a+b)+c=a+(b+c)?

引理1.1.5(消去律)：对任意自然数a、b、c，若a+b=a+c,则b=c?

引理1.1.6：对任意自然数a，a++=a+1

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定义1.2：一个自然数是正的，当且仅当它不等于0.?

引理1.2.1：对任意正自然数m和自然数n，m+n为正自然数?

引理1.2.2：对任意自然数m、n，若m+n=0，则m=0、n=0?

引理1.2.3：对任意正自然数a，必存在一个自然数b，使a=b++