算法导论-14-2-Josephus排列
题目：
Josephus问题的定义如下：假设n个人排成环形，且有以正整数m<=n。从某个制定的人开始，沿环报数，每遇到第m个人就让其出列，且报数进行下去。这个过程一直进行到所有人都出列为止。每个人出列的次序定义了整数1，2，...，n的(n, m)-Josephus排列。例如，(7,3)-Josephus排列为<3,6,2,7,5,1,4>。
a)假设m为整数。请描述一个O(n)时间的算法，使之对给定的整数n，输出(n, m)-Josephus排列。
b)假设m不是个常数。请描述一个O(nlgn)时间的算法，使给定的整数n和m，输出(n, m)-Josephus排列。
思考：
利用14.1中的动态顺序统计，假设刚刚删除的是剩余点中的第start个点（初始时为0），此时还剩下t个点，那么下一个要删除的是剩余点的第（start+m-1）%t个点
步骤1：基础数据结构
红黑树
步骤2：附加信息
size[x]：以x为根的子树的（内部）结点数（包括x本身），即子树的大小。size[nil[T]]=0
步骤3：对信息的维护
size[x] = size[left[x]] + size[right[x]] + 1
插入操作：从插入结点到根结点都要更新O(lgn)
旋转操作：只需要更新旋转轴上的两个点O(1)
删除操作：从删除结点的父结点开始到根结点都要更新O(lgn)
代码：
#include <iostream>using namespace std;#define BLACK 0#define RED 1//红黑树结点结构struct node{//红黑树的基础结构node *left;node *right;node *parent;int key;bool color;int size;//以x为根的子树的（内部）结点数（包括x本身），即子树的大小node(node *init, int k):left(init),right(init),parent(init),key(k),color(BLACK),size(1){}};//顺序统计量树结构struct Os_Tree{node *root;//根结点node *nil;//哨兵Os_Tree(){nil = new node(NULL, -1);nil->size = 0;root = nil;};};//对附加信息的维护void Maintaining(node *x){while(x->key >= 0){x->size = x->left->size + x->right->size + 1;x = x->parent;}}//左旋，令y = x->right, 左旋是以x和y之间的链为支轴进行旋转//涉及到的结点包括：x,y,y->left，令node={p,l,r},具体变化如下：//x={x->parent,x->left,y}变为{y,x->left,y->left}//y={x,y->left,y->right}变为{x->parent,x,y->right}//y->left={y,y->left->left,y->left->right}变为{x,y->left->left,y->left->right}void Left_Rotate(Os_Tree *T, node *x){//令y = x->rightnode *y = x->right;//按照上面的方式修改三个结点的指针，注意修改指针的顺序x->right = y->left;if(y->left != T->nil)y->left->parent = x;y->parent = x->parent;if(x->parent == T->nil)//特殊情况：x是根结点T->root = y;else if(x == x->parent->left)x->parent->left = y;else x->parent->right = y;y->left = x;x->parent = y;//对附加信息的维护y->size = x->size;x->size = x->left->size + x->right->size + 1;}//右旋，令y = x->left, 左旋是以x和y之间的链为支轴进行旋转//旋转过程与上文类似void Right_Rotate(Os_Tree *T, node *x){node *y = x->left;x->left = y->right;if(y->right != T->nil)y->right->parent = x;y->parent = x->parent;if(x->parent == T->nil)T->root = y;else if(x == x->parent->right)x->parent->right = y;else x->parent->left = y;y->right = x;x->parent = y;//对附加信息的维护y->size = x->size;x->size = x->left->size + x->right->size + 1;}//红黑树调整void Os_Tree_Insert_Fixup(Os_Tree *T, node *z){node *y;//唯一需要调整的情况，就是违反性质2的时候，如果不违反性质2，调整结束while(z->parent->color == RED){//parent[z]是左孩子时，有三种情况if(z->parent == z->parent->parent->left){//令y是z的叔结点y = z->parent->parent->right;//第一种情况，z的叔叔y是红色的if(y->color == RED){//将parent[z]和y都着为黑色以解决z和parent[z]都是红色的问题z->parent->color = BLACK;y->color = BLACK;//将parent[parent[z]]着为红色以保持性质5z->parent->parent->color = RED;//把parent[parent[z]]当作新增的结点z来重复while循环z = z->parent->parent;}else{//第二种情况：z的叔叔是黑色的，且z是右孩子if(z == z->parent->right){//对parent[z]左旋，转为第三种情况z = z->parent;Left_Rotate(T, z);}//第三种情况：z的叔叔是黑色的，且z是左孩子//交换parent[z]和parent[parent[z]]的颜色，并右旋z->parent->color = BLACK;z->parent->parent->color = RED;Right_Rotate(T, z->parent->parent);}}//parent[z]是右孩子时，有三种情况，与上面类似else if(z->parent == z->parent->parent->right){y = z->parent->parent->left;if(y->color == RED){z->parent->color = BLACK;y->color = BLACK;z->parent->parent->color = RED;z = z->parent->parent;}else{if(z == z->parent->left){z = z->parent;Right_Rotate(T, z);}z->parent->color = BLACK;z->parent->parent->color = RED;Left_Rotate(T, z->parent->parent);}}}//根结点置为黑色T->root->color = BLACK;}//插入一个结点void Os_Tree_Insert(Os_Tree *T, node *z){node *y = T->nil, *x = T->root;//找到应该插入的位置，与二叉查找树的插入相同while(x != T->nil){y = x;if(z->key < x->key)x = x->left;else if(z->key > x->key)x = x->right;}z->parent = y;if(y == T->nil)T->root = z;else if(z->key < y->key)y->left = z;elsey->right = z;z->left = T->nil;z->right = T->nil;//将新插入的结点转为红色z->color = RED;//从新插入的结点开始，向上调整Os_Tree_Insert_Fixup(T, z);Maintaining(z);}//对树进行调整，x指向一个红黑结点，调整的过程是将额外的黑色沿树上移void Os_Tree_Delete_Fixup(Os_Tree *T, node *x){node *w;//如果这个额外的黑色在一个根结点或一个红结点上，结点会吸收额外的黑色，成为一个黑色的结点while(x != T->root && x->color == BLACK){//若x是其父的左结点（右结点的情况相对应）if(x == x->parent->left){//令w为x的兄弟，根据w的不同，分为三种情况来处理//执行删除操作前x肯定是没有兄弟的，执行删除操作后x肯定是有兄弟的w = x->parent->right;//第一种情况：w是红色的if(w->color == RED){//改变w和parent[x]的颜色w->color = BLACK;x->parent->color = RED;//对parent[x]进行一次左旋Left_Rotate(T, x->parent);//令w为x的新兄弟w = x->parent->right;//转为2.3.4三种情况之一}//第二情况：w为黑色，w的两个孩子也都是黑色if(w->left->color == BLACK && w->right->color == BLACK){//去掉w和x的黑色//w只有一层黑色，去掉变为红色，x有多余的一层黑色，去掉后恢复原来颜色w->color = RED;//在parent[x]上补一层黑色x = x->parent;//现在新x上有个额外的黑色，转入for循环继续处理}//第三种情况，w是黑色的,w->left是红色的,w->right是黑色的else{if(w->right->color == BLACK){//改变w和left[x]的颜色w->left->color = BLACK;w->color = RED;//对w进行一次右旋Right_Rotate(T, w);//令w为x的新兄弟w = x->parent->right;//此时转变为第四种情况}//第四种情况：w是黑色的,w->left是黑色的,w->right是红色的//修改w和parent[x]的颜色w->color =x->parent->color;x->parent->color = BLACK;w->right->color = BLACK;//对parent[x]进行一次左旋Left_Rotate(T, x->parent);//此时调整已经结束，将x置为根结点是为了结束循环x = T->root;}}//若x是其父的左结点（右结点的情况相对应）else if(x == x->parent->right){//令w为x的兄弟，根据w的不同，分为三种情况来处理//执行删除操作前x肯定是没有兄弟的，执行删除操作后x肯定是有兄弟的w = x->parent->left;//第一种情况：w是红色的if(w->color == RED){//改变w和parent[x]的颜色w->color = BLACK;x->parent->color = RED;//对parent[x]进行一次左旋Right_Rotate(T, x->parent);//令w为x的新兄弟w = x->parent->left;//转为2.3.4三种情况之一}//第二情况：w为黑色，w的两个孩子也都是黑色if(w->right->color == BLACK && w->left->color == BLACK){//去掉w和x的黑色//w只有一层黑色，去掉变为红色，x有多余的一层黑色，去掉后恢复原来颜色w->color = RED;//在parent[x]上补一层黑色x = x->parent;//现在新x上有个额外的黑色，转入for循环继续处理}//第三种情况，w是黑色的,w->right是红色的,w->left是黑色的else{if(w->left->color == BLACK){//改变w和right[x]的颜色w->right->color = BLACK;w->color = RED;//对w进行一次右旋Left_Rotate(T, w);//令w为x的新兄弟w = x->parent->left;//此时转变为第四种情况}//第四种情况：w是黑色的,w->right是黑色的,w->left是红色的//修改w和parent[x]的颜色w->color =x->parent->color;x->parent->color = BLACK;w->left->color = BLACK;//对parent[x]进行一次左旋Right_Rotate(T, x->parent);//此时调整已经结束，将x置为根结点是为了结束循环x = T->root;}}}//吸收了额外的黑色x->color = BLACK;}//找最小值 node *Os_Tree_Minimum(Os_Tree *T, node *x) { //只要有比当前结点小的结点 while(x->left != T->nil) x = x->left; return x; } //查找中序遍历下x结点的后继，后继是大于key[x]的最小的结点 node *Os_Tree_Successor(Os_Tree *T, node *x) { //如果有右孩子 if(x->right != T->nil) //右子树中的最小值 return Os_Tree_Minimum(T, x->right); //如果x的右子树为空且x有后继y，那么y是x的最低祖先结点，且y的左儿子也是 node *y = x->parent; while(y != NULL && x == y->right) { x = y; y = y->parent; } return y; } //递归地查询二叉查找树 node *Os_Tree_Search(node *x, int k) { //找到叶子结点了还没找到，或当前结点是所查找的结点 if(x->key == -1 || k == x->key) return x; //所查找的结点位于当前结点的左子树 if(k < x->key) return Os_Tree_Search(x->left, k); //所查找的结点位于当前结点的左子树 else return Os_Tree_Search(x->right, k); } //红黑树的删除node *Os_Tree_Delete(Os_Tree *T, node *z){//找到结点的位置并删除，这一部分与二叉查找树的删除相同node *x, *y;if(z->left == T->nil || z->right == T->nil)y = z;else y = Os_Tree_Successor(T, z);if(y->left != T->nil)x = y->left;else x = y->right;x->parent = y->parent;if(y->parent == T->nil)T->root = x;else if(y == y->parent->left)y->parent->left = x;elsey->parent->right = x;Maintaining(y->parent);if(y != z){z->key = y->key;Maintaining(z);}//如果被删除的结点是黑色的，则需要调整if(y->color == BLACK)Os_Tree_Delete_Fixup(T, x);return y;}//查找以x为根结点的树中第i大的结点 node *Os_Tree_Select(node *x, int i) { //令x左子树中点的个数为r-1, int r = x->left->size +1; //那么x是x树中第r大的结点 if(r == i) return x; //第i大的元素在x->left中 else if(i < r) return Os_Tree_Select(x->left, i); //第i大的元素在x->right中 else return Os_Tree_Select(x->right, i - r); } int main(){//生成一棵动态顺序统计树Os_Tree *T = new Os_Tree;int m, n, i;while(cin>>n>>m){//将1.,n依次插入到树中for(i = 1; i <= n; i++){node *z = new node(T->nil, i);Os_Tree_Insert(T, z);}int t = n, start = 0;//还有剩余结点while(t){//计算下一个要删除的结点在剩余结点中的位置start = (start + m - 1) % t;//找到这个结点node *ret = Os_Tree_Select(T->root, start+1);cout<<ret->key<<' ';//删除这个结点Os_Tree_Delete(T, ret);t--;}cout<<endl;}return 0;}