向量空间中的Fourier变换：DFT
DFT
持久的动态系统一定存在振荡现象。从直观理解来说，不沿着圆运动的物体终将停止，比如炸弹、人、火箭等不可逆转的事物。
对于有限长度的一段信号，如64点。Wk[n]=e^(j*2*pi/N*n*k),n,k在【0，1，……N-1】，为C64向量空间的一组正交基。任取两个不同的基计算内积，化简为等比数列求和，分子为0，即正交。不过它们不是标准正交，乘以1/sqrt(N)标准化因子后才是标准正交基。
Wk表示第k个向量。每个Wk可以视为在一个园周上的逆时针运动，整个64长度时间轴上总共移动了k个园周。W0为常量，W2每次移动2*pi/N*2，W16每次移动pi/4，k在16和32之间移动会造成cos和sin波形不易看懂。大于32时，每次移动超过pi/2，相当于逆时针移动的W(64-k)，cos相同，但sin是负的。
对信号x分析的时候，可以不加以标准化，直接计算与正交基的内积，得到Xk。由这些分量综合出x的时候，需要乘以1/N以标准化：x=1/N * sum(Xk * Wk)。注意A、B内积的计算方法为A* xB，前者要取共扼。内积表示两个信号之间的相似程度。
Fourier变换可以看作从一组时域冲击信号正交基到Wk正交基的基变换。由于是计算内积，那么变换矩阵的因子为（e(-j*2*pi/N)）.
上述即为DFT，离散Fourier变换。实信号的幅度是关于中心对称的。（猜测虚部应该是奇对称的。）如果信号是前后部分虚部相同，实部反号，则DFT的实部为0.
这个结论采用两个Fourier变换矩阵W相乘可以得到结果。
如果以48k采样，那么36k的噪声会在12k频率处产生分量，60k的噪声也会在12k频率处产生分量。这里的产生分量的意思是滤波无法把噪声滤除。这一点可以用在园周上的旋转来理解，也可以用采样频率过低造成频谱泄漏来理解。
Parseval， 一个向量的能量等于它在一组标准正交基上的分量的幅度的平方和。进而得到DFT下的形式。
