台湾大学公开课《概率》第五礼拜一道不会作的作业题 ，一种看不懂的解法

台湾大学公开课《概率》第五周一道不会作的作业题 ，一种看不懂的解法
第五周的第十题：

巷子呈直线,长L0 = 400 m,艾波宁宁宁以v0 = 4 m/s 初速等速穿越。士兵时时 
刻刻瞄准她;第t 秒时是否击中她,是随时间t 的均匀的泊松事件(Poisson process),且 
与距离离无关。其中,平均每μ 秒能击中一次,μ = 100 / ln( 50 ) 约为25.5622。士兵无法 
击中巷子以外的区域;另外,只要她处于巷中,μ 就是常数数。 
当她每被击中一枪,速度度就会减半;直到她恰中4 枪时,会当场死亡。亦即,中 n 
枪时速度度依序为4, 2, 1, 0.5 m/s,其中n 依序为0, 1, 2, 3。 
请问艾波宁宁宁成功捎信的机率率率为何? 亦即,在她处于巷子之中时,被射中低于四枪的 
机率率率为何?(用小数数即可,误差合理理给对) 

这道题目我没有想起来怎么做，只想起来可以用四重积分来做，太麻烦了。论坛有人给出一种仿真10000次来逼近答案的方法。论坛有人给出以每一种速度移动的距离的PDF来计算的解法：设随机变量X为总共走过的距离，我们有
X=X0+X1+X2+X3=v0T0+v1T1+v2T2+v3T3
其中随机变量T0,T1,T2,T3 为中枪的时间间隔， 由于命中率和速度无关，所以T0,T1,T2,T3为同一分布， 记为 PT
我们可以证明， PT 为指数分布，
记PT的累计概率函数为 FT, 在观察时间t 中，k次中枪的概率为PK(K=k)
FT(t+Δt)?FT(t)=P(t<T≤t+Δt)=PK(k=1)?Δtt=(tμ)1e?t/μ1!?Δtt
记FT的概率密度函数为fT, 所以我们有
fT=ΔFT/Δt=1μe?t/μ
所以PT为指数分布

对于随机变量Y = aX , a为常数
FY(y)=P(Y≤y)=P(X≤y/a)=FX(y/a)
对y求导，有
fY=fx(y/a)?1a
所以对于X0, 我们有
fX0=1v0μe?xv0μ=a0e?a0x
同样我们有
fX1=a1e?a1x
fX2=a2e?a2x
fX3=a3e?a3x
其中 ai= 1viμ

对于随机变量 Y = X1 + X2, 我们有
fY=∫0yfX1(x)?fX2(y?x)dx=fX1?fX2  （本题中x都大于0，所以下限取0）
也就是两者的卷积。
带入上面的fX1,fX2, 积分后，当a0≠a1时 我们可以得到
fX0?fX1=a0fX1a1?a0+a1fX0a0?a1
若a0=a1是，就是Erlang分布

所以对于X=X0+X1+X2+X3, 有
fX=fX0?fX1?fX2?fX3
由数学归纳法，我们可以得到
fX=a1a2a3fX0(a1?a0)(a2?a0)(a3?a0)+a0a2a3fX1(a0?a1)(a2?a1)(a3?a1)+a0a1a3fX2(a0?a2)(a1?a2)(a3?a2)+a0a1a2fX3(a0?a3)(a1?a3)(a2?a3)

之后我们就可以求出FX, 得到 1?FX(400)
*表示卷积。这种方法真心碉堡了。当然，我没有看懂

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