2.18 数组瓜分

2.18 数组分割

问题：

有一个没有排序，元素个数为2N的正整数数组。要求把它分割为元素个数为N的两个数组，并使两个子数组的和最接近。

解法：

假设数组A[1..2N]所有元素的和是SUM。模仿动态规划解0-1背包问题的策略，令S(k, i)表示前k个元素中任意i个元素的和的集合。显然：
S(k, 1) = {A[i] | 1<= i <= k}
S(k, k) = {A[1]+A[2]+…+A[k]}
S(k, i) = S(k-1, i) U {A[k] + x | x属于S(k-1, i-1) }
按照这个递推公式来计算，最后找出集合S(2N, N)中与SUM最接近的那个和，这便是答案。这个算法的时间复杂度是O(2^N).

因为这个过程中只关注和不大于SUM/2的那个子数组的和。所以集合中重复的和以及大于SUM/2的和都是没有意义的。把这些没有意义的和剔除掉，剩下的有意义的和的个数最多就是SUM/2个。所以，我们不需要记录S(2N,N)中都有哪些和，只需要从SUM/2到1遍历一次，逐个询问这个值是不是在S(2N,N)中出现，第一个出现的值就是答案。我们的程序不需要按照上述递推公式计算每个集合，只需要为每个集合设一个标志数组，标记SUM/2到1这个区间中的哪些值可以被计算出来。

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>int array[] = {1, 5, 7, 8, 9, 6, 3, 11, 20, 17, 50};const int N = 5;const int SUM = 137;int min(int x, int y){    return (x > y) ? y : x;}int max(int x, int y){    return (x > y) ? x : y;}int solve(){    int i , j , s;    int dp[N+1][SUM/2+2];    memset(dp,0,sizeof(dp));    for(i = 1 ; i <= 2*N ; ++i)    {        for(j = 1 ; j <= min(i,N) ; ++j)        {            for(s = SUM/2+1 ; s >= array[i] ; --s)            {                dp[j][s] = max(dp[j-1][s-array[i]]+array[i] , dp[j][s]);            }        }    }    return dp[N][SUM/2+1];}int main(){    printf("%d\n", solve());    return 0;}

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