【老鸟学算法】大整数乘法——算法思想及java实现
算法课有这么一节，专门介绍分治法的，上机实验课就是要代码实现大整数乘法。想当年比较混，没做出来，颇感遗憾，今天就把这债还了吧！
大整数乘法，就是乘法的两个乘数比较大，最后结果超过了整型甚至长整型的最大范围，此时如果需要得到精确结果，就不能常规的使用乘号直接计算了。没错，就需要采用分治的思想，将乘数“分割”，将大整数计算转换为小整数计算。
在这之前，让我们回忆一下小学学习乘法的场景吧。个位数乘法，是背诵乘法口诀表度过的，不提也罢；两位数乘法是怎么做的呢？现在就来一起回忆下12*34吧：
3 4 （是不是很多小朋友喜欢将大的整数作为被乘数的，呵呵）
*1 2
---------
6 8
3 4
---------
4 0 8
接下来就是找规律了。其实大家多做几个两位数的乘法，都会发现这个规律：AB * CD = AC (AD+BC) BD 。没错，这里如果BD相乘超过一位数，需要进位（这里二四得八，没有进位）；(AD+BC+低位进位)如果超过一位数，需要进位（就像刚才的3*1，最后+1得4的操作）。
到这里可以看出，我们任意位数的整数相乘，最终都是可以转化为两位数相乘。当然，不同位的两位数乘的结果，最后应该如何拼接呢？这需要我们来找下更深层次的规律了。这下来个四位数的乘法，找找感觉：
1 2 3 4
* 5 6 7 8
------------------------
9 8 7 2
8 6 3 8
7 4 0 4
6 1 7 0
------------------------
7 0 0 6 6 5 2
这个结果看起来也没什么特别的，如果按照我们分治的思想，转换为两位数相乘，之间能否有些关系呢？
1234分为 12（高位）和34（低位）；5678分为56（高位）和78（低位）
高位*高位结果：12*56=672
高位*低位+低位*高位：12*78+34*56=936+1094=2840
低位*低位结果：34*78=2652
这里要拼接了。需要说明的是，刚才我们提到两位数分解成一位数相乘的规则：超过一位数，需要进位。同理（这里就不证明了），两位数乘以两位数，结果超过两位数，也要进位。
从低位开始：低两位：2652，26进位，低位保留52；中间两位，2840+26（低位进位）=2866,28进位，中位保留66；高位，672+28（进位）=700,7进位，高位保留00。再往上就没有了，现在可以拼接起来：最高位进位7，高两位00，中位66，低位52，最后结果：7006652。
规律终于找到了！任意位数（例如N位整数相乘），都可以用这种思想实现：低位保留N位数字串，多余高位进位；高位要加上低位进位，如果超过N位，依然只保留N位，高位进位。（如果是M位整数乘以N位整数怎么办？高位补0，凑成一样位数的即可，不赘述。）
分治的规律找到了，接下来就是具体实现的思想了。
没啥新花样，依然是递归思想（这里为了简化，就不递归到两位数相乘了，4位数相乘，计算机还是能够得到精确值的）：
1. 如果两个整数M和N的长度都小于等于4位数，则直接返回M*N的结果的字符串形式。
2. 如果如果M、N长度不一致，补齐M高位0（不妨设N>M），使都为N位整数。
3. N/2取整，得到整数的分割位数。将M、N拆分成m1、m2，n1，n2。
4. 将m1、n1；m2、n1；m1、n2；m2、n2递归调用第1步，分别得到结果AC(高位)、BC(中位)、AD(中位)、BD(低位)。
5. 判断BD位是否有进位bd，并截取bd得到保留位BD'；判断BC+AD+bd是否有进位abcd，并截取进位得到保留位ABCD'；判断AC+abcd是否有进位ac，并截取进位得到保留位AC'。
6. 返回最终大整数相乘的结果：ac AC' ABCD' BD'。
最后附上java源码实现：
import java.util.Scanner;import java.util.regex.Matcher;import java.util.regex.Pattern;/** * 大整数乘法 * @author Maxy * */public class BigIntMultiply{ //规模只要在这个范围内就可以直接计算了 private final static int SIZE = 4; // 此方法要保证入参len为X、Y的长度最大值 private static String bigIntMultiply(String X, String Y, int len) { // 最终返回结果 String str = ""; // 补齐X、Y，使之长度相同 X = formatNumber(X, len); Y = formatNumber(Y, len); // 少于4位数，可直接计算 if (len <= SIZE) { return "" + (Integer.parseInt(X) * Integer.parseInt(Y)); } // 将X、Y分别对半分成两部分 int len1 = len / 2; int len2 = len - len1; String A = X.substring(0, len1); String B = X.substring(len1); String C = Y.substring(0, len1); String D = Y.substring(len1); // 乘法法则，分块处理 int lenM = Math.max(len1, len2); String AC = bigIntMultiply(A, C, len1); String AD = bigIntMultiply(A, D, lenM); String BC = bigIntMultiply(B, C, lenM); String BD = bigIntMultiply(B, D, len2); // 处理BD，得到原位及进位 String[] sBD = dealString(BD, len2); // 处理AD+BC的和 String ADBC = addition(AD, BC); // 加上BD的进位 if (!"0".equals(sBD[1])) { ADBC = addition(ADBC, sBD[1]); } // 得到ADBC的进位 String[] sADBC = dealString(ADBC, lenM); // AC加上ADBC的进位 AC = addition(AC, sADBC[1]); // 最终结果 str = AC + sADBC[0] + sBD[0]; return str; } // 两个数字串按位加 private static String addition(String ad, String bc) { // 返回的结果 String str = ""; // 两字符串长度要相同 int lenM = Math.max(ad.length(), bc.length()); ad = formatNumber(ad, lenM); bc = formatNumber(bc, lenM); // 按位加，进位存储在temp中 int flag = 0; // 从后往前按位求和 for (int i = lenM - 1; i >= 0; i--) { int t = flag + Integer.parseInt(ad.substring(i, i + 1)) + Integer.parseInt(bc.substring(i, i + 1)); // 如果结果超过9，则进位当前位只保留个位数 if (t > 9) { flag = 1; t = t - 10; } else { flag = 0; } // 拼接结果字符串 str = "" + t + str; } if (flag != 0) { str = "" + flag + str; } return str; } // 处理数字串，分离出进位； // String数组第一个为原位数字，第二个为进位 private static String[] dealString(String ac, int len1) { String[] str = {ac, "0"}; if (len1 < ac.length()) { int t = ac.length() - len1; str[0] = ac.substring(t); str[1] = ac.substring(0, t); } else { // 要保证结果的length与入参的len一致，少于则高位补0 String result = str[0]; for (int i = result.length(); i < len1; i++) { result = "0" + result; } str[0] = result; } return str; } // 乘数、被乘数位数对齐 private static String formatNumber(String x, int len) { while (len > x.length()) { x = "0" + x; } return x; } //测试桩 public static void main(String[] args) { // 正则表达式：不以0开头的数字串 String pat = "^[1-9]\\d*$"; Pattern p = Pattern.compile(pat); // 获得乘数A System.out.println("请输入乘数A（不以0开头的正整数）："); Scanner sc = new Scanner(System.in); String A = sc.nextLine(); Matcher m = p.matcher(A); if (!m.matches()) { System.out.println("数字不合法！"); return; } // 获得乘数B System.out.println("请输入乘数B（不以0开头的正整数）："); sc = new Scanner(System.in); String B = sc.nextLine(); m = p.matcher(B); if (!m.matches()) { System.out.println("数字不合法！"); return; } System.out.println(A + " * " + B + " = " + bigIntMultiply(A, B, Math.max(A.length(), B.length()))); }}最后的最后，再稍微发散下：如果是大小数（整数位和小数位位数都很长）相乘呢？