二分匹配 从陌生到认知
参考 http://blog.csdn.net/q3498233/article/details/5786225
二分图：二分图是这样一个图，它的顶点可以分类两个集合X和Y，所有的边关联的两个顶点恰好一个属于集合X，另一个属于集合Y。
二分图匹配：给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。
最大匹配：图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。
完美匹配：如果所有点都在匹配边上，则称这个最大匹配是完美匹配。
二分图匹配基本概念：
未盖点
设VI是G的一个顶点，如果VI不与任意一条属于匹配M的边相关联，就称VI是一个未盖点。
交错轨
设P是图G的一条轨，如果P的任意两条相邻的边一定是一条属于M而另一条不属于M，就称P是交错轨。
可增广轨（增广路）
两个端点都是未盖点的交错轨称为可增广轨。
可增广轨的性质：
1：P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。
2：P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。
3：M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。
二分图最大匹配匈牙利算法：
算法的思路是不停的找增广轨,并增加匹配的个数,增广轨顾名思义是指一条可以使匹配数变多的路径,在匹配问题中,增广轨的表现形式是一条"交错轨",也就是说这条由图的边组成的路径,它的第一条边是目前还没有参与匹配的,第二条边参与了匹配,第三条边没有..最后一条边没有参与匹配,并且始点和终点还没有被选择过.这样交错进行,显然他有奇数条边.那么对于这样一条路径,我们可以将第一条边改为已匹配,第二条边改为未匹配...以此类推.也就是将所有的边进行"取反",容易发现这样修改以后,匹配仍然是合法的,但是匹配数增加了一对.另外,单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错轨.可以证明,当不能再找到增广轨时,就得到了一个最大匹配.这也就是匈牙利算法的思路。
代码：
模板
/*题目大意：在一个坐标图中有一些点需要覆盖，每在一个点上覆盖就可在覆盖它上下左右4个点中任一个，问最小放几个。分析：利用黑白染色法把每一个点都和与之相邻的4个点连边，就构成了一个二分图。要求的就是有最小的点数覆盖全部边，即求最小路径覆盖=最大独立集=所有点-最大匹配由此可以求出最优解。实现方法——匈牙利算法即可。注意的是，这里的点是所有可以放得点*2，而匹配数也是正常匹配数的二倍（A到B连了，B到A也连了），所以最后是n-最大匹配/2。代码：*/#include<iostream>using namespace std;int h[41][11];int g[405][405],visit[405],match[405];char map[41][11];int d[4][2]={{-1,0},{1,0},{0,-1},{0,1}};int n,m,ans,sum;int find(int a){ int i,j; for(i=1;i<=sum;i++) { if(!visit[i]&&g[a][i]==1) { visit[i]=1; if(match[i]==0||find(match[i])) { match[i]=a; return 1; } } } return 0;} int main(){ int t,i,j,k,xx,yy; cin>>t; while(t--) { sum=ans=0; memset(g,0,sizeof(g)); memset(match,0,sizeof(match)); cin>>n>>m; for(i=0;i<n;i++) { cin>>map[i]; for(j=0;j<m;j++) { if(map[i][j]=='*') { sum++; h[i][j]=sum; } } } for(i=0;i<n;i++) for(j=0;j<m;j++) { if(map[i][j]=='*') { for(k=0;k<=3;k++) { xx=i+d[k][0]; yy=j+d[k][1]; if(xx>=0&&yy>=0&&xx<n&&yy<m&&map[xx][yy]=='*') g[h[i][j]][h[xx][yy]]=1; } } } for(i=1;i<=sum;i++) { memset(visit,0,sizeof(visit)); if(find(i)) ans++; } cout<<sum-ans/2<<endl; } return 0;}