袖珍电子书：微积分学的基本定理
微积分研究的内容是什么？这些内容为什么容易从我们的脑壳中被遗忘？相反，初等数学的内容却能“终生不忘”？为什么？
人的记忆能力是会起伏变化的，遗忘也是一种自我保护的能力。刚才，我把A.Robinson的专著《非标准分析》快速浏览了一番，其内容并非一般的大学低年级同学所能接受，即使“硬灌”进去，也会很快被遗忘，脑壳装不下。但是，J.keisler的教材《基础微积分》的写作风格，希望达到的目的与A.Robinson不同，力求简明易懂，进入脑壳。
在《基础微积分》第四章第二节第192页给出所谓“反导数”的定义：
DEFINITION
Let f and F be functions with domain I. If f is the derivative of F, then F is called an antiderivative of f.
定义：给定函数f与F，两者具有共同的定义域I。如果f是F的导数，则F称为f的反导数（Antiderivative）。（注意：在此，将导数定义为函数的作用就体现出来了。反导数与导数的名称配对不容易忘却。）
在《基础微积分》第四章第二节第193页给出微积分学的基本定理：
FUNDAMENTAL THEOREM OF CALCULUS
Suppose f is continuos on its domain, which is a open interval I.
1.For each point a in I,the definite integral of f from a to x considered as a function of x is an antiderivative of f .That is
d(∫f(x)dx)= f(x)dx (注意：定积分的上、下限分别是x与a)
2.If F is antiderivative of f,then for any two points (a,b) in I,the definite integal of f from a to b is equal to the differnce F(b) -F(a)
∫f(x)dx= F(b) – F(a) （注意：定积分的上、下限分别是b与a。）
微积分学基本定理的这种叙述方法，其中的巧妙之处在于微分与积分这两种运算“d∫”可以抵销，是两种”互逆“的过程。记住并且正确理解“d∫”的准确含义，把握微积分学的基本内容就算差不多了。但是，反观我们国内的微积分学教材，包括复旦大学的《数学分析》与同济大学的《高等数学》在内，都有一个共同的缺点，不讲微积分学的基本定理，只讲微积分学的基本计算公式，关于微分与积分运算的“互逆”现象“d∫”从不涉及、深入讲解，微积分学的精粹之处没有进入学生的脑壳，快速遗忘就是在所难免的了。学习微积分，不懂“d∫”互逆，算是白学了。
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