算法学习札记-判断集合S中是否存在有两个其和等于x的元素

算法学习笔记----判断集合S中是否存在有两个其和等于x的元素

题目：请给出一个运行时间为Θ(nlgn)的算法，使之能在给定一个由n个整数构成的集合S和另一个整数x时，判断出S中是否存在有两个其和等于x的元素。

解题思路：
直观的方法是直接计算集合中两两元素的和，然后判断是否存在x，但时间复杂度为Θ(n^2)，不符合题目的要求，也不是一个好的解决问题的方法，下面两种方法要好一些：
 第一种是《算法导论》的教师手册上提供的思路，构建一个辅助集合S'，通过查找辅助集合S'和原集合合并后的集合中是否有重复的元素来判断，具体步骤如下：
   1）对集合S进行排序
   2）构建辅助集合S'，S'={z：z=x-y，y∈S}，也就是说S'中的元素是x减去集合S中的元素生成
   3）对集合S'进行排序
   4）移除集合S中重复的元素，只保留一个，也就是说使集合S中的元素唯一。对集合S'中做同样的处理。
   5）合并集合S和S'
   6）当且仅当合并的集合中存在连续的位置上出现相同的的值时，集合S中存在两个数的和为x。（基本直译）
   这个解题思路是有问题，而且如果简单从字面意思理解的话，这个思路是错误的，在某些情况下是不正确的。下面一一列出这个思路存在的问题：
  a. 在生成辅助集合S'之后，才开始将集合S中的重复元素去掉只保留一个，这样S'中也会有同样的重复元素，为什么不在生成辅助结合S'之前做呢？如果在第1步之后做的话，S'中的元素也是唯一的了，减少重复的工作
  b. 第3步完全没有必要，因为S在第1步中已经排好序了，所以生成的S'集合也是排好序的了，只是排序的方式不同。如果集合S是升序排列，则集合S'是降序排列。所以没有必要再对集合S'排序，只需在合并的时候稍作处理即可。
  c. 第6步中的描述原文是”There exist two elements in S whose sum is exactly x if and only if the same value appears in consecutive positions in the merged output“，如果 从字面意思理解的话，就是只要合并的集合中有重复的元素就证明结合S中存在两个数的和为x。但是如果这么理解的话，是不对的，比如集合S={2，3，5， 6}，x=4，       则S'={2, 1，-1，-2}，合并后的集合为{-2， -1， 1， 2， 2， 3， 5， 6}，合并后的结合中存在重复的元素{2, 2}，位置连续并且和为x，但是集合S中并没有两个数的和        为x。所以第6步的表述是有问题，要么是真的错了，要么是语音差异理解的有问题。那要怎么才能正确地确定呢？就是在合并的集合中必须至少有两个重复的元素，这时      才能肯定集合S中存在两个数的和为x。可以证明一下，假设w∈S， y∈S，则集合S'中也存在w∈S，y∈S，所以合并的集合中会有两个重复的元素w、y。如果有多对解        的话，重复的元素个数会更多。
d. 第4步中将重复的元素唯一化，如果重复的元素的和刚好是x呢？这时岂不是反而弄巧成拙了？比如集合S={2，2，5， 6}，x=4，去除重复的元素，反而错失了找到两个数的和为x的机会，而且题目中也没有要求两个和为x的元素不能重复。
  还有一点需要注意的是，这个思路只是用来确定集合S中是否有两个元素的和为x，不需要确定是哪两个元素的和为x。
  所以个人认为正确的思路应该是这样：
  1）对集合S进行排序
  2）检查集合S中是否有重复的元素，如果有则判断重复的元素乘以2（就是两个相加）是否为x，如果是的话，就找到了，无需做后面的处理；否则移除重复的元素，使集合S           中的元素唯一。
  3）构建辅助集合S'，S'={z：z=x-y，y∈S}，也就是说S'中的元素是x减去集合S中的元素生成
  4）合并集合S和S'
  5）当合并的集合中有两个或两个以上的重复元素时，集合S中存在两个元素的和为x。
  接下来确定上面的思路的算法复杂度。第1步的使用归并排序来完成，时间复杂度为Θ(nlg(n))，第2、3、4、5步的时间复杂度为Θ(n)，合并起来为Θ(nlg(n))。符合题目的要求。

  其代码实现如下所示：

#include <stdio.h>#include <errno.h>#ifndef INT_MAX#define INT_MAX((int)(~0U>>1))#endif#define ARRAY_SIZE(__s) (sizeof(__s) / sizeof(__s[0]))static void merge(int *a, int start, int mid, int end){    int nl = mid - start + 1;    int nr = end - mid;    int sentinel = INT_MAX;    int left[nl + 1], right[nr + 1];    int i, j, k = start;        for (i = 0; i < nl; ++i) {        left[i] = a[k++];    }    /* Set sentinel */    left[i] = sentinel;        for (j = 0; j < nr; ++j) {        right[j] = a[k++];    }    /* Set sentinel */    right[j] = sentinel;        i = j = 0;    for (k = start; k <= end; ++k) {        if (left[i] <= right[j]) {            a[k] = left[i++];        } else {            a[k] = right[j++];        }    }}static void merge_sort(int *a, int start, int end){    int mid;        if ((start >= 0) && (start < end)) {        mid = (start + end) /2 ;                merge_sort(a, start, mid);        merge_sort(a, mid + 1, end);                merge(a, start, mid, end);    }}static int binary_search(int *a, int len, int expect, int target){    int left = 0, right = len - 1, mid;        do {               if (left == expect) {            ++left;        }                if (right == expect) {            --right;        }                mid = (left + right) / 2;                if ((mid != expect) && (a[mid] == target)) {            return 0;        } else if (a[mid] > target) {            right = --mid;        } else {            left = ++mid;        }    } while (left <= right);        return -1;}static int check_exist_x(int *a, int len, int x){    int i;        if (!a || len < 2) {        fprintf(stderr, "Too few elements.\n");        return -1;    }        merge_sort(a, 0, len - 1);        for (i = 0; i < len; ++i) {        if (!binary_search(a, len, i, x - a[i])) {            return 0;        }    }        return -1;}int main(void){    int source[] = { 7, 5, 2, 4, 6, 1, 5, 3};    int x = 13;    int ret;    ret = check_exist_x(source, ARRAY_SIZE(source), x);    printf("If there are two elements whose sum equals to x? %s.\n",        ret < 0 ? "No" : "Yes");    return 0;}

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