计算理论重点——Theory of Computation
一个学期的计算理论课程已经结束，给我的感觉吧，计算理论是一门计算机不得不学，学了短期又没用，但是可以培养一些逻辑思维的课程。其最关注的问题是什么是可计算性，什么问题可计算，问题之间的映射/归约，计算代价及难易。在分析问题和检验模型计算能力之前需要掌握的工具是形式语言、图灵机等。本文主要对计算理论中的重点进行了总结，总结了一些定理和理解上容易有障碍的知识点，但是里面还有一些点没有提到，比如NFA、DFA的相互转化，CFL和PDA的相互转化，需要书中的题目和证明辅助。
Summary
1. 与自然数集合N等势的集合是可数无穷的，称有穷的or可数无穷的集合是可数的。非可数的集合称作不可数的。
2. DFA( K, Σ, s,F, δ ) ；NFA（K, Σ，s，F，Δ）
3. 每台NFA都有一台等价的DFA（method:find closure）
4. 有穷自动机接受的语言类 = 正则语言类（正则表达式描述的语言类）
5. 正则语言在各种运算下封闭
6. 语言是正则的，iff 其等价语言中有有穷个等价类。
7. DFA状态最小化->寻找等价类（初始等价类F & K-F）
8. CFL（V，Σ，R，S）
9. 存在非正则的CFL
10. 能够生成>=两棵语法分析树的字符串的文法叫做歧义的。
11. PDA M=（K，Σ，Γ，Δ，s，F），Γ为栈符号
12. PDA接受的语言正好是CFL
13. 正则语言（xynz）和CFL（uvnxynz）的泵定理
14. L={anbn}∈CFL，L={anbncn}?CFL，L={an,n为素数}不是CFL
15. Chomsky范式（CNF）：若Rí(V-Σ)×V2，则称G=（V，Σ，R，S）为Chomsky范式
16. CFG到CNF的转化：
1) 消除长rules
2) 消除空rules（A->e）
3) 消除短rules（A->a or A->B）
17. 对任意CFL G，都可以在多项式时间构造Chomsky范式G’,使得L(G’)=L(G)-(Σ∪{e})
18. 没有chomsky范式能够表示length<2的字符串，所以包含<2的字符串的语言不能转化到chomsky范式。
19. 确定型CFL（确定型PDA接受的语言类）在补下封闭。
20. TM (K，Σ，δ，s，H)，注意字母表Σ不包含←和→
21. 若存在TM判定L，则称L是递归的。
22. 如果对于所有w属于Σ*，M(w) = f(w)，我们说M计算函数f，若存在TM计算f，则f称为递归的。
23. 半判定语言的TM都不是算法
24. 多带、多带头、双向无穷带or多维带的TM，其判定or半判定的任何语言及任何函数，都分别可用标准TM判定、半判定or计算。
25. 非确定型TM：一个格局可在一步里产生多个其他格局
26. 若非确定型TM M半判定或者判定语言L，或者计算函数f，则存在标准型TM M’半判定or判定L，or计算函数f。
27. 文法是CFG的推广，任何CFG都是文法。G=（V，Σ，R，S）
28. 语言被文法生成iff它是r.e.的。
29. 所有数值函数都是原始递归的
30. 原始递归函数集是递归可枚举的。
31. 特殊语言/问题：
H = {“M””w”: M在w上停机 }
H1 = {“M”：M在“M”上停机 }
﹁H1 = { w：要么w不是一台TM的编码，
要么w是M的编码，M是一台在”M”上不停机的TM }
H：r.e. ; H1：r.e.； ﹁H1：非r.e. ； 2-SAT∈P； SAT∈NP
32. 没有算法的问题称作不可判定的or不可解的，如TM的停机问题
33. 证明不可判定：从通用图灵机U通过递归函数归约到L，如果L是递归的则U是递归的。
i.e.若L1非递归，并存在L1到L2的归约，则L2也非递归。
递归函数是Turing Computable的。
34. 语言是图灵可枚举的，iff存在枚举它的图灵机。（M通过空格代开始，周期性的经过特殊状态q来枚举L，任意顺序且可重复）
35. 不可判定语言与递归语言互为补集，与r.e.语言有交集。
36. 语言是r.e.，iff它是图灵可枚举的；语言是递归的，iff它是以字典序Turing可枚举的。
37. P在并、连接和补运算下封闭，NP在并、连接运算下封闭。若NP在补下封闭，则NP=P。
38. H = {“M””w”: M在最多2|w|步后停机} ? P
39. 所有正则语言和所有CFL都属于P
40. NP问题：
A. 机器角度去定义：被多项式界限非确定型图灵机判定的所有语言的类。
B. 基于verifier的定义：NP问题上建立的非确定机包含两步：
1) 非确定地猜一个解
2) 用一个确定的算法判定该解是否为可行解
判定一个给定猜测值是否满足该问题（可满足性）的算法称作verifier，一个问题称作NP问题当且仅当存在一个多项式时间的verifier。
这两个定义是不矛盾的，因为如果一台非确定TM在多项式时间内可以判定一个非确定选择的输入是否满足，就是基于verifier的定义。
41. 若存在计算函数f的多项式界限的图灵机M，则f称为多项式时间可计算的。
42. 若τ1是L1->L2的多项式归约，τ2是L2->L3的多项式归约，则τ1·τ2是L1->L3的多项式归约。
43. 证明NP完全：
法一、按定义：L∈Σ*，若
（a） L∈NP，且
（b） 对每个语言L’∈NP，存在从L’到L的多项式归约
则L称为NP完全的。
法二、归约，对于语言L，
（a） 若L∈NP
（b） 一个NP完全问题可以在多项式时间规约到L，i.e.SAT ≤p L
则L称为NP完全的。
44. L是NP完全语言，则P=NP，iff L∈P
45. SAT是NP-complete，3-SAT，最大可满足性也是NP完全的
46. 覆盖问题，Hamilton圈（有向无向），旅行商问题，背包问题都是NP-complete。
47. a*b*c* - {anbncn,n ≥ 0} iscontext-free but not regular
48. L=L1L2，L是CFL，则L1一定是CFL （×）
49. Regular-CFL不一定是CFL，如a*b*c*-anbn包含anbncn
50. 2-way PDA(i.e. PDA whoseinput heads can move both left and right) are more powerful than 1-way PDA
51. Given a PDA M1 and an FA M2,the problem L(M1) íL(M2) is decidable
52. DFA/NFA识别的是exactly正则语言。
53. R.e. 只在补和差下不封闭，CFL在交下也不封闭。
54. 非正则语言的*可能是正则语言。比如A:{ w=wR },及所有回文，A*=Σ*，为正则语言
55. 典型非正则：w=wR
56. 正则语言的子集可能非正则，如anbncn,是a*b*c*的子集；又如Σ*是正则语言，H ?Σ*。
57. Chomsky hierarchy
本文整理于2013.01.10，整理人Rachel_Zhang,后续更新微博提示。
