[转]匀速贝塞尔曲线运动的实现
http://www.thecodeway.com/blog/?p=293
二次贝塞尔曲线通常以如下方式构建，给定二维平面上的固定点P0,P1,P2，用B(t)表示该条曲线
用一个动画来演示，可以更加清楚的表明这条曲线的构建过程
如果t变量本身线形变化的话，这条贝塞尔曲线本身的生成过程是并不是匀速的，通常都是两头快中间慢。
如何想要得到匀速的贝塞尔曲线运动呢？比如我们在某款游戏中设计了一条贝塞尔曲线的路径，如何实现玩家匀速在这条路径上运动呢？
思考这个算法颇费了一番脑筋，其间还得到数学牛人Charlesgao的帮助，非常感谢他（比较糗的是，我问问题的时候就把其中的一个公式搞错了，见笑了-_-!)。
首先需要求得B(t)相对于t的速度公式s(t)
为了简化公式，我们定义如下变量
计算出的s(t)可以表达为
其中A,B,C是根据P0,P1,P2计算出的常数
根据这个公式，求得贝塞尔曲线的长度公式L(t)
设t`就是能够使L实现匀速运动的自变量，那么显然L(t`)=L(1.0)*t，即
由于L(t)函数非常复杂，直接求逆函数的表达式几乎不可能，还好我们可以知道它的导数为s(t)，在实际使用中，可以使用牛顿切线法求出近似解。其迭代算法可以表达为
我写了一个测试程序用于验证该算法，运算结果如下，可以看到，这条曲线已经是以匀速方式生成的了 ^_^
完整的示例源代码附载下面:
下载: Bezeier.cpp (4.2KB)
#include <stdio.h>#include <math.h>#include <windows.h>//三个控制点POINT P0={50,50},P1={500,600},P2={800,200};int ax = P0.x-2*P1.x+P2.x;int ay = P0.y-2*P1.y+P2.y;int bx = 2*P1.x-2*P0.x;int by = 2*P1.y-2*P0.y;double A = 4*(ax*ax+ay*ay);double B = 4*(ax*bx+ay*by);double C = bx*bx+by*by;//曲线总长度double total_length = 0.0;//曲线分割的份数const int STEP = 70;//用于保存绘制点数据的数组POINT pixels[STEP];//-------------------------------------------------//速度函数/*s(t_) = Sqrt[A*t*t+B*t+C]*/double s(double t){return sqrt(A*t*t+B*t+C);}//-------------------------------------------------//长度函数/*L(t) = Integrate[s[t], t]L(t_) = ((2*Sqrt[A]*(2*A*t*Sqrt[C + t*(B + A*t)] + B*(-Sqrt[C] + Sqrt[C + t*(B + A*t)])) + (B^2 - 4*A*C) (Log[B + 2*Sqrt[A]*Sqrt[C]] - Log[B + 2*A*t + 2 Sqrt[A]*Sqrt[C + t*(B + A*t)]]))/(8* A^(3/2)));*/double L(double t){double temp1 = sqrt(C+t*(B+A*t));double temp2 = (2*A*t*temp1+B*(temp1-sqrt(C)));double temp3 = log(B+2*sqrt(A)*sqrt(C));double temp4 = log(B+2*A*t+2*sqrt(A)*temp1);double temp5 = 2*sqrt(A)*temp2;double temp6 = (B*B-4*A*C)*(temp3-temp4);return (temp5+temp6)/(8*pow(A,1.5));}//-------------------------------------------------//长度函数反函数，使用牛顿切线法求解/*X(n+1) = Xn - F(Xn)/F'(Xn)*/double InvertL(double t, double l){double t1=t, t2;do{t2 = t1 - (L(t1)-l)/s(t1);if(abs(t1-t2)<0.000001) break;t1=t2;}while(true);return t2;}//-------------------------------------------------LRESULT CALLBACK _WndProc(HWND hWnd, UINT message, WPARAM wParam, LPARAM lParam){switch (message) {case WM_TIMER:{static nIndex = 0;if(nIndex>=0 && nIndex<=STEP){double t = (double)nIndex/STEP;//如果按照线形增长,此时对应的曲线长度double l = t*total_length;//根据L函数的反函数，求得l对应的t值t = InvertL(t, l);//根据贝塞尔曲线函数，求得取得此时的x,y坐标double x = (1-t)*(1-t)*P0.x +2*(1-t)*t*P1.x + t*t*P2.x;double y = (1-t)*(1-t)*P0.y +2*(1-t)*t*P1.y + t*t*P2.y;//取整pixels[nIndex].x = (int)(x+0.5);pixels[nIndex].y = (int)(y+0.5);nIndex++;InvalidateRect(hWnd, 0, 0);}else{KillTimer(hWnd, 101);}}break;case WM_PAINT:{PAINTSTRUCT ps;HDC hdc = BeginPaint(hWnd, &ps);::MoveToEx(hdc, P0.x, P0.y, 0);LineTo(hdc, P1.x, P1.y);LineTo(hdc, P2.x, P2.y);for(int i=0; i<STEP; i++){const POINT &pt = pixels[i];if(pt.x==0 && pt.y==0) break;::MoveToEx(hdc, pt.x-2, pt.y, 0);::LineTo(hdc, pt.x+2, pt.y);::MoveToEx(hdc, pt.x, pt.y-2, 0);::LineTo(hdc, pt.x, pt.y+2);}EndPaint(hWnd, &ps);}break;case WM_DESTROY:PostQuitMessage(0);break;default:return DefWindowProc(hWnd, message, wParam, lParam);}return 0;}//-------------------------------------------------int APIENTRY WinMain(HINSTANCE hInstance, HINSTANCE hPrevInstance, LPTSTR lpCmdLine, int nCmdShow){//注册窗口类WNDCLASSEX wcex;ZeroMemory(&wcex, sizeof(WNDCLASSEX));wcex.cbSize = sizeof(WNDCLASSEX); wcex.style= CS_HREDRAW | CS_VREDRAW;wcex.lpfnWndProc= (WNDPROC)_WndProc;wcex.hInstance= hInstance;wcex.hCursor= LoadCursor(NULL, IDC_ARROW);wcex.hbrBackground= (HBRUSH)(COLOR_WINDOW+1);wcex.lpszClassName= "BezierClass";RegisterClassEx(&wcex);//创建窗口HWND hWnd = CreateWindow("BezierClass", "BezierDemo", WS_OVERLAPPEDWINDOW, CW_USEDEFAULT, 0, CW_USEDEFAULT, 0, NULL, NULL, hInstance, NULL);ShowWindow(hWnd, nCmdShow);UpdateWindow(hWnd);//计算总长度total_length = L(1);//清空绘制点数据ZeroMemory(&pixels, sizeof(pixels));//设定定时刷新计时器SetTimer(hWnd, 101, 10, 0);//消息循环MSG msg;while(GetMessage(&msg, NULL, 0, 0)) {TranslateMessage(&msg);DispatchMessage(&msg);}return (int) msg.wParam;}