矩阵乘法算法组合hdu1757讲解

2012-11-23

矩阵乘法算法结合hdu1757讲解一个矩阵就是一个二维数组，为了方便声明多个矩阵，我们一般会将矩阵封装一个类

矩阵乘法算法结合hdu1757讲解

一个矩阵就是一个二维数组，为了方便声明多个矩阵，我们一般会将矩阵封装一个类或定义一个矩阵的结构体，我采用的是后者：

struct Mat
{
int mat[Max][Max];
}

最特殊的矩阵应该就是单位矩阵E了，它的对角线的元素为1，非对角线元素为0。

一般矩阵乘法采用朴素的O(n^3)的算法：

Mat operator*(Mat a,Mat b)
{
     int i,j,k;
     Mat c;
     for (i=0;i<len;i++)
     {
         for (j=0;j<len;j++)
         {
             c.mat[i][j] = 0;
             for(k=0;k<len;k++)
                 c.mat[i][j]+=(a.mat[i][k]*b.mat[k][j])%MOD;
         }
     }
     return c;
}

在ACM的题目中，我们一般考虑的是n阶方阵之间的乘法以及n阶方阵与n维向量（把向量看成n×1的矩阵）的乘法。矩阵乘法最重要的性质就是满足结合律，同时它另一个很重要的性质就是不满足交换率，这保证了矩阵的幂运算满足快速幂取模（A^x % MOD）算法：

假设k = 27，则k的二进制表示为11011，所以

，可以看出：k的二进制的每一位矩阵A都要平方，在k二进制为1的位：末矩阵×平方后的A，在k二进制为0的位则末矩阵×E（单位矩阵），即不变。代码如下：

Mat operator^(Mat a,int x)
{
     Mat p = e,q = a;
     while (x)
     {
         if(x&1)
             p = p*q;
         x>>=1;
         q = q*q;
     }
     return p;
}

许多题目还要求S = A + A2 + A3 + … +Ak.。其实再作一次二分即可：只需计算log(n)个A的幂即可。

Mat solve(Mat a,int p)
{
     if(p==1)
         return a;
     /*如果p为奇数，则对p-1进行二分，a^p+二分结果*/
     /*
           A^1+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6+A^7 = (A^1+A^2+A^3)+ A^3*(A^1+A^2+A^3)+A^7=A^7+solve(A,p-1)
     */
     else if(p&1)
         return (a^p)+solve(a,p-1);
     /*p为偶数，则直接二分*/
     /*
     A^1+A^2+A^3+A^4+A^5+A^6 = (A^1+A^2+A^3)+ A^3*(A^1+A^2+A^3) = (A^3+e)*(A^1+A^2+A^3)
     推广即可得到当p为偶数时   A^1+A^2+A^3+……+A^p = (A^(p/2)+e) * solve(A,p/2);
     */
     else
         return ((a^(p>>1))+e)*solve(a,p>>1);
}

hdu 1757

A Simple Math ProblemTime Limit: 3000/1000 MS (Java/Others) Memory Limit: 32768/32768 K (Java/Others)
Total Submission(s): 1400 Accepted Submission(s): 800

Problem DescriptionInputOutputSample InputSample OutputAuthorSourceRecommend#include<stdio.h>#include<string.h>struct haha{int mar[10][10];}a,b,c;int n,m;struct haha multi(struct haha a1,struct haha a2){struct haha temp;int i,j,k;for(i=0;i<10;i++)for(j=0;j<10;j++){temp.mar[i][j]=0;for(k=0;k<10;k++){temp.mar[i][j]+=(a1.mar[i][k]a2.mar[k][j])%m;}temp.mar[i][j]%=m;}return temp;}struct haha bin(int cnt)//二分思想下面有更精简的方法{struct haha tmp;if(cnt==1) return a;if(cnt%2==0) {tmp=bin(cnt/2); return multi(tmp,tmp);}else {tmp=bin((cnt-1)/2); tmp=multi(tmp,tmp);return multi(tmp,a);}}/void matrix_binary()//二分思想也可以用二进制方法解决 { while(k) { if(k & 1) //与1计算后可以得到二进制最后一位是否为1，为1就乘，不是就不乘 b = matrixmul(b,a);//注意 b的初始为E单位矩阵 a = matrixmul(a,a); k = k >> 1; } }//上面原理解释：假设k的二进制是10111 即为23 矩阵要乘23次 a始终用来记录2 4 8 16.......当k=10111 b变成了a a为2次矩阵相乘当k=1011 b=ba 为3次矩阵相乘 a变成了4次相乘k=101 b为7次 a为8次 k=10 b为7次 a为16次 k=1 b为23 a=32 k=0 退出那么这时候b就是我们得到的矩阵相乘结果23次/int main(){ int i,j,ans; while(scanf("%d %d",&n,&m)!=EOF) { // for(i=0;i<10;i++) // for(j=0;j<10;j++)// {// if(i==j-1) a.mar[i][j-1]=1;//搞了整整一天没想到居然是在这里犯的错误啊矩阵的初始化搞错了// else a.mar[i][j]=0;// } memset(a.mar,0,sizeof(a.mar)); for(i = 1;i < 10;i++) a.mar[i][i-1] = 1; for(j=0;j<10;j++) scanf("%d",&a.mar[0][j]); if(n<10) {printf("%d\n",n);continue;} n=n-9; c=bin(n); ans=0; for(i = 0;i < 10;i++) ans += (c.mar[0][i] * (9-i)) % m; printf("%d\n",ans%m); } return 0;}

参考内容来自http://blog.csdn.net/q3498233/article/details/5786180
矩阵乘法大神解题报告http://www.cppblog.com/notonlysuccess/archive/2009/03/03/75405.aspx
矩阵乘法题目整理

矩阵乘法题目整理http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1575
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1757
赤裸裸的两道
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2256
这题正解不是矩阵,不过如果推出公式来的话可以用矩阵解
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2604
推公式吧,推完后矩阵求解(也是道正解不是矩阵的题)
http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1683
我的第一道矩阵,不过求和的话比一般的难一点点
方法有两个.
1.增加一维,重新构造和的函数
2.详细见 http://acm.hdu.edu.cn/forum/read.php?tid=8137&keyword=%BE%D8%D5%F3
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1588
此题同上题一样
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3117
两个部分,前一个是黄金分割比,后一个是最裸的矩阵
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2254
经典题目,见下边资料
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2276
比较有趣并且隐藏的比较深的题
http://acm.fzu.edu.cn/problem.php?pid=1692
同上题一个原理,不过时限很紧,要降维优化
http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=2853
07年省赛题
http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemCode=2974
08年省赛题
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2855
联合训练题
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2971
有点难推的公式
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2294
难题

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