HDU 4370 0 or 1（12年多校by uestc 0/1规划，最短路）
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题目：一个只含0，1的矩阵
1.X12+X13+...X1n=1
2.X1n+X2n+...Xn-1n=1
3.for each i (1<i<n), satisfies ∑Xki (1<=k<=n)=∑Xij (1<=j<=n).
另外一个矩阵，两个矩阵相乘最小
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4370
显然，题目给的是一个0/1规划模型。
解题的关键在于如何看出这个模型的本质。
3个条件明显在刻画未知数之间的关系，从图论的角度思考问题，容易得到下面3个结论：
1.X12+X13+...X1n=1 于是1号节点的出度为1
2..X1n+X2n+...Xn-1n=1 于是n号节点的入度为1
3.∑Xki =∑Xij 于是2~n-1号节点的入度必须等于出度
于是3个条件等价于一条从1号节点到n号节点的路径，故Xij=1表示需要经过边(i,j)，代价为Cij。Xij=0表示不经过边(i,j)。注意到Cij非负且题目要求总代价最小，因此最优答案的路径一定可以对应一条简单路径。
最终，我们直接读入边权的邻接矩阵，跑一次1到n的最短路即可，记最短路为path。
以上情况设为A
非常非常非常非常非常非常非常非常抱歉，简单路径只是充分条件，但不必要。（对造成困扰的队伍深表歉意）
漏了如下的情况B：
从1出发，走一个环（至少经过1个点，即不能是自环），回到1；从n出发，走一个环（同理），回到n。
容易验证，这是符合题目条件的。且A || B为该题要求的充要条件。
由于边权非负，于是两个环对应着两个简单环。
因此我们可以从1出发，找一个最小花费环，记代价为c1,再从n出发，找一个最小花费环，记代价为c2。（只需在最短路算法更新权值时多加一条记录即可：if(i==S) cir=min(cir,dis[u]+g[u][i])）
故最终答案为min(path,c1+c2)
#include<iostream>#include<cstdio>#include<map>#include<cstring>#include<cmath>#include<vector>#include<algorithm>#include<set>#include<queue>#define inf 1<<27#define N 105#define Min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))#define Max(a,b) ((a)>(b)?(a):(b))#define pb(a) push_back(a)#define LL long longusing namespace std;int n,path[305][305];int dist[305],vis[305];void Spfa(int s){ queue<int>que; memset(vis,0,sizeof(vis)); for(int i=0;i<n;i++){ if(i==s) dist[i]=inf; else{ dist[i]=path[s][i]; que.push(i); vis[i]=1; } } while(!que.empty()){ int u=que.front(); que.pop(); vis[u]=0; for(int i=0;i<n;i++){ if(dist[i]>dist[u]+path[u][i]){ dist[i]=dist[u]+path[u][i]; if(!vis[i]){ vis[i]=1; que.push(i); } } } }}int main(){ while(scanf("%d",&n)!=EOF){ for(int i=0;i<n;i++) for(int j=0;j<n;j++) scanf("%d",&path[i][j]); int ans,c1,c2; Spfa(0); ans=dist[n-1]; c1=dist[0]; Spfa(n-1); c2=dist[n-1]; printf("%d\n",min(ans,c1+c2)); } return 0;}