一道高数证明题，有点疑问，在线等
设f(x)在[a,b]上具有连续的二阶导数，且f’(a)=f’(b)=0，证明：在(a,b)内存在一点η，使∫(a,b)f(x)dx=(b-a)[f(a)+f(b)]/2+(b-a)^3f”(η)/6.
我的思路：
f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+f”(η1)(x-η1)^2/2
f(x)=f(b)+f’(b)(x-b)+f”(η2)(x-η2)^2/2
f(x)=[f(a)+f(b)]/2+f”(η1)(x-η1)^2/4+f”(η2)(x-η2)^2/4
∫(a,b)f(x)dx=(b-a)[f(a)+f(b)]/2+∫(a,b)[ f”(η1)(x-η1)^2/4+f”(η2)(x-η2)^2/4]dx
我想知道如何使(b-a)^3f”(η)/6＝∫(a,b)[ f”(η1)(x-η1)^2/4+f”(η2)(x-η2)^2/4]dx
或者我的思路有点问题？？？？？
[解决办法]
过程是这样的：
f(x)=f(a)+f’(a)(x-a)+f”(η1)(x-a)^2/2，η1介于a和x之间
f(x)=f(b)+f’(b)(x-b)+f”(η2)(x-b)^2/2，η2介于x和b之间
所以f(x)=[f(a)+f(b)]/2+f”(η1)(x-a)^2/4+f”(η2)(x-b)^2/4
令m为二阶导数最小值，M为二阶导数最大值（因为二阶导数连续，所以存在最大值和最小值）
令A=[f(a)+f(b)]/2，这样就有A+((x-a)^2+(x-b)^2)*m/4 <= f(x) <= A+((x-a)^2+(x-b)^2)*M/4
对f(x)求积分，有（b-a)*A/2 + (b-a)^3*m/6 <= ∫(a,b)f(x)dx <= （b-a)*A/2 + (b-a)^3*M/6
因为二阶导数连续，所以存在m <= η <= M,由介值定理就得到答案。
你的错误在于：
1 泰勒公式弄错了，再去看看书。
2 ∫(a,b)f(x)dx=(b-a)[f(a)+f(b)]/2+∫(a,b)[ f”(η1)(x-η1)^2/4+f”(η2)(x-η2)^2/4]dx是不对的，因为x是个变量，所以η也在变。这里要用不等式才行。
