求积分的详细解题过程
∫(0,Π/2)dx∫(0,ab/((bcosx)^2+(asinx)^2)^(1/2) ar/(a^2-r^2)^(1/2)dr
备注:∫(a,b)f(x)dx 表)示对 f(x) 从 x=a 至 x=b 的积分
我的思路:
∫(0,Π/2)dx[-a(a^2-x^2)^(1/2)](0,ab/((bcosx)^2+(asinx)^2)^(1/2)
=-a^2∫(0,Π/2)(a^2-b^2)^(1/2)sinx/{[(asinx)^2+(bcosx)^2]^(1/2)-1}dx
=a^2(a^2-b^2)^(1/2)∫(0,Π/2)(a^2-(a^2-b^2)(cosx)^2)dcosx+Πa^2/2
=........................................
总之,很复杂,而且好象与正确答案有点出入,谁能告诉我一个比较EASY的方法吗
[解决办法]
你第一步的结果最后那个-1 是不是应该在大括号外面哦？
这步下来后是 ∫(0, Π/2)dx a^2-a^2* [sqrt(a^2-b^2)sinx] / [sqrt(a^2*sinx^2+b^2*cosx^2)]
这里只分析最后一项，即 sqrt(a^2-b^2) sinx /sqrt(a^2*sinx+b^2*cosx) dx的积分
上下同除以cosx，就成为
sqrt(a^2-b^2) tgx/sqrt(a^2* tgx^2 + b^2) dx
以t=tgx 代入，为分析简便，不考虑前面的系数，就成了形如
{t/sqrt(1+k*t^2)} * 1/(1+t^2) dt的积分，这个积分是
arctg( sqrt( (1+k*t^2)/(k-1) ) ) /sqrt(k-1)
