证明函数是线性的（关于恒等式）条件：f(x+t) - f(x)f(x+y) - f(y)（恒等式）t可以看作时间常量，x,y是两个不同
证明函数是线性的 （关于恒等式）
条件：f(x+t) - f(x)=f(x+y) - f(y) （恒等式）
t可以看作时间常量，x,y是两个不同的时间点
f()可以看作是时间到路程的映射
证明：f(t)是线性的，并且是一次函数或常数函数。
[解决办法]
个人想法：
f(x+t)-f(x)=f(y+t)-f(y)
则[f(x+t)-f(x)]/t=[f(y+t)-f(y)]/t （t!=0）
所以[f(x+t)-f(x)]/(x+t-x)=[f(y+t)-f(y)]/(y+t-y)
下面只要证明这个等式是一个常数就可以了。
[解决办法]
f(x+t) - f(x)=f(y+t) - f(y)
根据上式，t为常量。只要证明对于任意x以及确定常数t，存在f(x+t)-f(x)=r(在t确定时，r为一确定常量)
t为0时，公式恒成立。
t不为0时，变形公式（f(x+t)-f(x)）/t=r/t，则r/t也为常量。对左边（f(x+t)-f(x)）/t由于t可以取任意值，故可以视为是函数f（x）在x处的导数f'（x）。
f‘（x）=r/t（常量），可以证明f（x）是一次或常数函数。
[解决办法]
4L的推理只有在条件里说了f可导以后才可进行。
设g(x)=f(x)-f(0)，则原题条件转化为g(x+t)-g(x)=g(y+t)-g(y)，并且g(0)=0。
现在令y=0，则条件转化为g(x+t)-g(x)=g(t)，也就是g(x+t)=g(t)+g(x)。这是经典的柯西方程，不需要可导这么强的条件，只要加个单调性或者连续性，就可以说明g(x)=ax，于是f(x)=ax+b
[解决办法]
其实只要证明如下命题即可（基于该命题可直接推出函数可导性，然后利用4L的做法就可以了）
1) 存在某一个不变的常量z, 使得对于任意的x, t，一定有f(x+t)-f(x)=z*t
关于这个命题的证明，首先需要说明的是，任意取x, t，f(x+t)-f(x)一定是一个有限量，否则题目中所说的
f(x+t) - f(x)=f(y+t) - f(y)就不成立了(无限量最多只能比较规模，但不能精确的比较大小)
然后，当t=0的时候
f(x+0)-f(x)=0 一方面表示了函数的连续性，另一方面也表示命题 1)当t=0时成立
最后开始讨论t不为0的情况。
我们先随便取一组x,t，(t<>0)，令Z1=(f(x+t)-f(x))/t
接着保持t不变，再另外取一个y，令Z2=(f(y+t)-f(y))/t
根据题设，
f(x+t)-f(x)与f(y+t)-f(y)恒等，
因此有(f(x+t)-f(x))/t与Z2=(f(y+t)-f(y))/t恒等（t<>0)
故Z1=Z2。
这表明了当t<>0时，(f(x+t)-f(x))/t为一个常数，设它为Z
因此当t<>0时，有f(x+t)-f(x)=z*t
当t=0时，有f(x+0)-f(x)=0=z*0，
因此命题1)成立，该函数f(x)可导，然后直接利用求导的方式可以证明LZ的题目了。
[解决办法]
g(x) = f(x+t)-f(x)
g(y) = f(y+t)-f(y);令g(y0)=C，C是恒定值；
由 g(x)=g(y) => g(x)=g(y0)=C, x是任意值;
g(x)/t = (f(x+t) - f(x))/(x+t-x) = C/t;
goto 4L...
[解决办法]
>f(x+0)-f(x)=0 一方面表示了函数的连续性
不懂连续性就别扯谈了。只用那个函数方程，可导和连续一个都推不出来的。先前提到了，承认选择公理的话可以构造出一个不连续的函数但也满足这个函数方程的。
[解决办法]
也就是将实数空间看成有理数域上的无限维线性空间，那么f是上面的任意一个线性变换。
至于不连续解，只有理论上存在的意义，构造了同没有构造区别不大，我们还是无法知道其具体值，可以查看链接:
解函数方程
[解决办法]
[解决办法]f(x+t)-f(x) = f(y+t)-f(y)
如果t = 0
这个式子没有讨论价值
如果t != 0
则
[f(x+t) - f(x)]/t = [f(y+t) - f(y)]/t
当t -> 0时，根据导数的定义
等号左边就是f(k)在 k = x时的导数
并且存在
如果不存在，表明是无穷大，无穷大不存在等于问题
那么这个式子表明f(k)在任意点处的导数都相等
[解决办法]令y=0.
有
f(x+t) - f(x)=f(t) - f(0)
求t->0的极限
f'(x)=lim((f(x+t) - f(x))/t)=lim((f(t) - f(0))/t)=f'(0) t->0
所以只要证明函数f在0点可导即可
[解决办法]f(x+t)-f(x）=f(y+t)-f(y)
(f(x+t)-f(x)
)/x+t-x=
(f(y+t)-f(y)
)/y+t-y
所以，x 到 x+t 之间的斜率 = y 到 y+t 之间的斜率
因为，x，y，t 任意
所以，直线上任意二点斜率相同
所以，线性
[解决办法]命题是错误的，我们假定f(t)=sint(t),x=-PI,y=PI
显然符合题意，但是sint(t)既不是线性函数！
------解决方案--------------------
兄台，f(x+t) - f(x)=f(y+t) - f(y) 这个f本身就不一定是线性的。此话怎解，只要找到一个特例，使之为非线性，你整个命题就是错误的。
设：f(z)=z^3 (这里表示z的3次方)
则原函数为 (x+t)^3 - x^3 = (y+t)^3 - y^3
这个是方程吗？当然是方程了。而且可以找到一个特解。比如x=0,y=0就是一个特解。
也是是说，存在非线性的函数f，使得f(x+t) - f(x)=f(y+t) - f(y)
朋友，有特定的场合吗？可能在一定范围您的命题才有意义。
[解决办法]应该是数分里面的基本题型.
对一切x,y, 均有f(x+t) - f(x)=f(y+t) - f(y) (1)
t≠0时, (1)式变形为
(f(x+t)-f(x))/t = (f(y+t)-f(y))/t
对?ε>0, ? N=1/ε,当n>N时, 0 < |f(x+t)-f(x)|/t < ε
则对?x,y, f'(x)=f'(y), 故f'(x)=C.
∴f(x)是线性的，并且是一次函数或常数函数
[解决办法]好像很多人没注意到是恒等式.
既然是恒等式,那么就可以把等式演绎为一个动态的过程推出连续可导且导数为常数,所以f必为线性
[解决办法]根据我数学系同学的思路整理如下：
已知对任意两点x，y（∈R）和任意t∈R有：
f(x+t) - f(x)=f(y+t) - f(y)
求证f(x)是线性函数ax+b的形式。
设a>0，先假设f(x)在[-a,a]内有界。
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设f(-a)=m,f(a)=n
在区间[-a,a]内构造函数g(x):
g(x) = f(x)-(n-m)*x/2/a-(n+m)/2
则g(-a) = m+(n-m)/2-(n+m)/2 = 0
g(a) = n -(n-m)/2-(n+m)/2 = 0
根据确界存在定理:任何有上界(下界）的非空数集必存在上(下）确界
由于闭区间[-a,a]内g(x)有上界，从而必有上确界，设为K，其值在k取到
g(k)=K,K=sup{g(x)|x∈[-a,a]}
我们将证明K=0。
若不然K>0，假设-a<=k<=0,则2k+a仍然在[-a,a]内，根据f(x+t) - f(x)=f(y+t) - f(y)有
f(2k+a)-f(k) = f(k)-f(-a)
易得g(2k+a)=2K,比上确界还大，矛盾。
对于0<=k<=a的情况一样。
所以上确界为0，同理下确界也为0，即【-a，a】内g(x)≡0，即f(x)=(n-m)*x/2/a-(n+m)/2
由于a的任意性，令a->+∞,证毕。
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问题集中在[-a,a]内f(x)有界上
[解决办法]无限的缩小t，可以知道f'(x)=f'(y)。
这样的话在任何一点的导数都相等，可以进一步证明是一次以下的了，用二阶导数也可以证明吧。
我记的每一点都可导，函数就是连续的，不知道有没有记错了。
[解决办法]条件：f(x+t) - f(x)=f(x+y) - f(y) （恒等式）
t可以看作时间常量，x,y是两个不同的时间点
f()可以看作是时间到路程的映射
证明：f(t)是线性的，并且是一次函数或常数函数。
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感觉很简单，不知对不对：
令x=0 代入恒等式得
f(0+t)-f(0)=f(0+y)-f(y)
f(t)-f(0)=f(y)-f(y)
得到f(t)=f(0)
f(0)是一个常数，所以f(t)是个常数函数.
[解决办法]我们定义了g(x) = f(x)-(n-m)*x/2/a-(n+m)/2
f(2k+a)-f(k) = f(k)-f(-a)
g(2k+a)-g(k) = g(k)-g(-a)(这个按照g(x)的定义代入就可以得到）
g(2k+a)=2*g(k)=2K,
[解决办法]t不等于0 的情况：
[f(x+t)-f(x)]/t=[f(y+t)-f(y)]/t
当t趋于0时，即，x、y两点的斜率相同（即任意两点的斜率相同）。即函数f(x)的斜率为常数
所以f(x)为一次函数或常数函数。
t=0情况显然成了
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综上所述：
f(x)为一次函数或常数函数。
[解决办法]f(x+t) - f(x)=f(y+t) - f(y)
推出
(f(x+t) - f(x))/t=(f(y+t) - f(y))/t
(f(x+t) - f(x))/t=(f(x+t) - f(x))/(x+t-x)
当t-->0时
(f(x+t) - f(x))/t=(f(x+t) - f(x))/(x+t-x)=d(f(x))/d(x)
同理
=(f(y+t) - f(y))/t=d(f(y))/d(y)
则有d(f(x))/d(x)=d(f(y))/d(y)
数学扔了n多年了，再往下怎么弄？
