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汪宏喜09年考研数学辅导讲义（线性代数）
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考研数学内部讲义
线性代数
概率论与数理统计
编讲 汪宏喜
安徽农业大学
1
第二部分 线性代数
第一章 行列式
考试内容
行列式的概念和基本性质 行列式按行（列）展开定理
考试要求
1．了解行列式的概念，掌握行列式的性质.
2．会应用行列式的性质和行列式按行（列）展开定理计算行列式.
? 考试内容解析 ?
一、行列式的概念
1．排列
由正整数1，2，…，n 组成的一个有序组n j j j l 2 1 称为一个n 级排列.在一个排列中，如果某
个较大的数排在某个较小的数之前，称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数称为这个排列
的逆序数，记作( ) n j j j l 2 1 τ .有偶数个逆序数的排列称为一个偶排列，有奇数个逆序数的排列称为
一个奇排列.
2．n 阶行列式
n 阶行列式
nn n n
n
n
n
a a a
a a a
a a a
d
l
m l m m
l
l
2 1
2 22 21
1 12 11
=
是所有取自不同行、不同列的n 个元素乘积
n nj j j a a a ? ? ? l
2 1 2 1 的代数和，其中n j j j l 2 1 构成一
个n 级排列.当n j j j l 2 1 是偶排列时，该项取正号；当n j j j l 2 1 是奇排列时，该项取负号.即n 阶行
列式
∑ ? ? ? =
n
n
n
j j j
nj j j
j j j
n a a a d
l
l l
2 1
2 1
2 1 , ) 1 ( 2 1
) ( τ
其中∑
n j j j l 2 1
表示对所有的n 级排列求和.
注 在n 阶行列式的定义中有三要素，一是n 阶行列式展开式中的每一项
n nj j j a a a ? ? ? l
2 1 2 1 表
示不同行、不同列的n 个元素的乘积；二是展开式中项的符号) ( 2 1 ) 1 ( n j j j l τ ? 由列标排列的奇偶性确
2
定；三是展开式中所有项的项数等于! n .
二、 行列式的性质
（1）行列互换，行列式的值不变.即行列式与其转置行列式相等.
（2）互换行列式的两行（列），行列式的值反号.
特别地，如果行列式有两行（列）完全相同，则行列式的值为零.
（3）行列式某一行（列）各元素的公因子可以提到行列式之前.
特别地，如果行列式中有一行（列）的元素全为零，则行列式的值为零；如果行列式有两行（列）
的对应元素成比例，则行列式的值为零.
（4）如果行列式中某一行（列）的所有元素均为两数之和，则此行列式等于两个行列式之和，
这两个行列式分别以这两组数作为该行（列）的元素，其余各行（列）元素与原行列式相同.
（5）行列式某一行（列）所有元素的k 倍加到另一行（列）的对应元素上，行列式的值不变.
三、行列式按行（列）展开
1．余子式和代数余子式
在n 阶行列式n d 中，划去元素ij a 所在的第i 行和第j 列，余下的元素按原有顺序构成1 ? n 阶
行列式，称为元素的ij a 余子式，记作ij m .记ij
j i
ij m a ? = ) 1 ( ，称ij a 为元素ij a 的代数余子式.
2．行列式按一行（列）展开
n 阶行列式n d 等于它的任意一行（列）各元素与其对应的代数余子式乘积之和；n 阶行列式任
意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即
? ? ?
≠
=
= ∑=
, , 0
,
1 s i
s i d
a a n
n
j
sj ij 若
，若
? ? ?
≠
=
= ∑=
, , 0
,
1 t j
t j d
a a n
n
i
it ij 若
，若
3．几种特殊类型的行列式
（1） nn
