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高考数学经典试题汇编
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高考数学经典试题汇编
1. 下表给出一个“等差数阵”：
4 7 （ ） （ ） （ ） ……
……
7 12 （ ） （ ） （ ） ……
……
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ……
……
（ ） （ ） （ ） （ ） （ ） ……
……
…… …… …… …… …… …… …… ……
……
……
…… …… …… …… …… …… …… ……
其中每行、每列都是等差数列， 表示位于第i行第j列的数．（1）写出 的值； （2）写出 的计算公式；（３）证明：正整数n在该等差数列阵中的充要条件是2n 1可以分解成两个不是1的正整数之积．讲解 学会按步思维，从图表中一步一步的翻译推理出所要计算的值．
（1） 按第一行依次可读出： ， ；按第一行依次可读出： ， ；最后，按第５列就可读出： ．
（２）因为该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列，所以它的通项公式是：
而第二行是首项为7，公差为5的等差数列，于是它的通项公式为：
…… 通过递推易知，第i行是首项为 ，公差为 的等差数列，故有
（３）先证必要性：若n在该等差数阵中，则存在正整数i，j使得 ．从而 ，这说明正整数2n 1可以分解成两个不是1的正整数之积．再证充分性：若2n 1可以分解成两个不是1的正整数之积，由于2n 1是奇数，则它必为两个不是1的奇数之积，即存在正整数k，l，使得 ，从而 ，由此可见n在该等差数阵中．综上所述，正整数n在该等差数阵中的充要条件是2n 1可以分解成两个不是1的正整数之积.
2. 求 。
3. “渐升数”是指每个数字比其左边的数字大的自然数（如2578），在二位的“渐升数”中任取一数比37大的概率是 。
4. 函数 及其反函数的图象与函数 的图象交于a、b两点，若 ，则实数 的值等于_________。
5. 从装有 个球（其中 个白球， 个黑球）的口袋中取出 个球 ，共有 种取法。在这 种取法中，可以分成两类：一类是取出的 个球全部为白球，共有 种取法；另一类是取出的 个球有 个白球和 个黑球，共有 种取法。显然 ，即有等式： 成立。试根据上述思想化简下列式子： 。
6. 某企业购置了一批设备投入生产，据分析每台设备生产的总利润 （单位：万元）与年数 满足如图的二次函数关系。要使生产的年平均利润最大，则每台设备应使用 （ c ）
（a）3年 （b）4年 （c）5年 （d）6年
7. （14分）已知函数 ，且 （1）求 的值；（2）试判断是否存在正数 ，使函数 在区间 上的值域为 。若存在，求出这个 的值；若不存在，说明理由。
解：（1）∵ ，∴ ，即 ，∵ ，∴ （2） ， ；当 ，即 时， ；当 时，∵ ，∴这样的 不存在。当 ，即 时， ，这样的 不存在。综上得， 。
8. （14分）如图，设圆 的圆心为c，此圆和
抛物线 有四个交点，若在 轴上方的两个交
点为a、b，坐标原点为o， 的面积为s。
（1） 求p的取值范围；
（2） 求s关于p的函数 的表达式及s的取值范围；
（3） 求当s取最大值时，向量 的夹角。
解：（1）把 代入 得
由 ， 得 ，即
（2）设 ， 的方程：
， 即
即 ， 即
点o到ab的距离 ，又
∴ ， 即
（3） 取最大值时， ，解方程 ，得
，
∴向量 的夹角的大小为 。
9. （16分）前段时期美国为了推翻萨达姆政权，进行了第二次海湾战争。据美军估计，这场以推翻萨达姆政权为目的的战争的花费约为 亿美元。同时美国战后每月还要投入约 亿美元进行战后重建。但是由于伊拉克拥有丰富的石油资源，这使得美国战后可以在伊获利。战后第一个月美国大概便可赚取约 亿美元，只是为此美国每月还需另向伊交纳约 亿美元的工厂设备维护费。此后随着生产的恢复及高速建设，美国每月的石油总收入以 的速度递增，直至第四个月方才稳定下来，但维护费还在缴纳。问多少个月后，美国才能收回在伊的“投资”？
解：设 个月后，美国才能收回在伊的“投资”，则
即 ， ，即 个月后，美国才能收回在伊的“投资”。
