新思路·新课改
刘勋
2008年江西(理)22题第2问是一道奥赛题的演变题，难度很大，不少学生看了标准答案甚至直挠头说“看不懂”；有的学生虽说能顺下来，“看得懂”，但那么复杂的式子是怎么想出来，怎么“凑出来”的，仍觉得云雾山中。我们在重新编写2008年高考数学解题研究与高考点拨评析一书时，在全国征集了不少名师的解答，他们一致认为这是2008年最难的题之一。对专门研究数学的人来说，看答案后真是“精思妙解能开悟”，他们或是在不等式上玩出高深技巧，或是命题转换，或是巧妙地运用变量代换，或是借用导数工具……这些解法共同特点是没有相当的数学素养，只能是“可望而不可即”。有没有大多数学生能摸、能做、能得分的“基本法”呢？有！我用分类讨论的方法得到了满意结果。下面介绍分类讨论的解法：
例2(2008年江西理22，14分)，已知函数f(x)=- - -，x∈(0， ∞)
(ⅰ)当a=8时，求f(x)的单调区间；
(ⅱ)对任意正数a，证明1
证明：
(ⅰ)(略)
(ⅱ)先证f(x)>1，∵x>0,a>0.
∴0<-<1，0<-<1，0<-=1--<1
∴-<-，-<-，-<-
∴f(x)>- - 1--
=1 -
设y1=ax(a x-6) 8,
1)显然当a＋x≥6时，y1>0，∴f(x)>1
2)当0
设t=-，则y1=f1(t)≥t2(2t-6) 8=2t3-6t2 8
y1’=6t2-12t=0,t=2或t=0(舍) 说明y’即导数
t>2时y1’>0,t<2时，y1’<0， ∴t=2时，y’小=22(4-6) 8=0
∴y1≥0，故01
综合1)、2)，∴对任意正数a，f(x)>1对x∈(0， ∞)成立。
再证f(x)<2
观察f(x)知：x,a在f(x)中是对称的(可交换)，不妨设0
①当3≤a≤x时，∵0<-<1，∴f(x)<- - 1=2
②当0
∵(-)2=-=1--<(1--)2 ∴-<1--
同理-<1---<1--
∴- -<2--(- -)
故此，要证f(x)<2，只需证：-(- -)≥-
∵-(- -)≥-
∴只需证：-≥- ……·即可
