天津市第四十二中学 张鼎言
(一)线线，线面，面面
复习导引：线线垂直一般情况下转化为线面垂直，用三垂线定理或逆定理。异面直线成角或线面成角，需平行移动异面直线中的一条或两条。如何平移？抓住已给线段中点，作出线段的辅助中点，用好三角形中位线或等腰三角形底边中线是重要的途径。在线面成角中，线上的点到平面的垂线是关键，解决问题的方法是利用已有垂线或直接作平面的垂线。
1.如图，在三棱锥v-abc中，vc⊥底面abc，ac⊥bc，d是ab的中点，且ac=bc=a，∠vdc=θ(0<θ<-)。
(i)求证：平面vab⊥vcd；
(ii)当角θ变化时，求直线bc与平面vab所成的角的取值范围。
证明(1)∵ac=bc，d是ab的中点，
∴ab⊥cd，
又vc⊥底面abc，
∴vc⊥ab
∴ab⊥平面vcd
又ab平面vab
∴平面vab⊥平面vcd
分析(2)在平面vcd中，过c作ch⊥vd，交vd于h，连ch。
由(1)ch⊥vd，vd是平面vcd与平面vab的交线，
ch⊥平面vab
∠cbh为直线bc与平面vab所成角
∴ch=a·sin∠cbh
ch=cd·sinθ
又cd·ab=ac·bc→cd=-a，
∴-a·sinθ=a·sin∠cbh
∴sin∠cbh=-·sinθ
θ为直角△vcd中的锐角，
0<θ<-
0
∴0<∠cbh<-
即直线bc与平面vab所成角的取值范围为(0，-)。
